Definition
Erzeugen Vektoren einen Vektorraum (Erzeugendensystem) und sind diese Vektoren linear unabhängig, dann bilden sie eine Basis des Vektorraums.
Sind die Vektoren hingegen linear abhängig, stellen sie keine Basis des Vektorraums dar.
Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn der Nullvektor aus den Vektoren "nichttrivial" (das heißt nicht alle linearen Faktoren dürfen Null sein) linear kombiniert werden kann.
Beispiel
Beispiel: Basis eines Vektorraums
Es gibt folgende 3 Vektoren:
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Diese 3 Vektoren bilden keine Basis im R3, da sie linear abhängig sind.
So führt zum Beispiel die folgende nichttriviale Linearkombination zum Nullvektor.
$$1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Im Beispiel wurde einfach eine lineare Kombination gezeigt und damit war der Fall erledigt.
Um eine lineare Abhängigkeit aber generell zu prüfen, kann man aus den Vektoren ein lineares Gleichungssystem bauen und wenn dieses eine nichttriviale Lösung hat (wie im Beispiel mit den drei Faktoren 1, 1 und - 1 vor den Vektoren), liegt eine lineare Abhängigkeit vor und die Vektoren bilden keine Basis.
Fazit
- Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem: die Vektoren spannen den Vektorraum auf und sind voneinander unabhängig.
- Die Anzahl der Basisvektoren entspricht der Dimension des Vektorraums.
- Sind die Vektoren linear abhängig, bilden sie keine Basis.
- Standardbasis des Rn: die Einheitsvektoren e1, e2, …, en.
Selbsttest: Basis eines Vektorraums
Aufgabe: Basis des R² prüfen
Gegeben sind:
$$a = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$$
Bilden a und b eine Basis des R²? Prüfen Sie lineare Unabhängigkeit.
Prüfung lineare Unabhängigkeit:
Ansatz: λ1 · a + λ2 · b = 0 ⇒ LGS:
λ1 + 3λ2 = 0 (1. Komponente)
2λ1 + λ2 = 0 (2. Komponente)
Aus Zeile 1: λ1 = −3λ2. Einsetzen in Zeile 2: −6λ2 + λ2 = −5λ2 = 0 → λ2 = 0 → λ1 = 0.
Nur die triviale Lösung → a und b sind linear unabhängig.
Alternativ per Determinante:
$$\det\begin{pmatrix}1 & 3\\2 & 1\end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 1 - 6 = -5 \ne 0 \quad \checkmark$$
Da det ≠ 0 und 2 Vektoren im R²: a und b bilden eine Basis des R².