Basis eines Vektorraums

Basis eines Vektorraums Definition

Erzeugen Vektoren einen Vektorraum (Erzeugendensystem) und sind diese Vektoren linear unabhängig, dann bilden sie eine Basis des Vektorraums.

Sind die Vektoren hingegen linear abhängig, stellen sie keine Basis des Vektorraums dar. Das ist z.B. dann der Fall, wenn der Nullvektor aus den Vektoren "nichttrivial" (d.h. nicht alle linearen Faktoren dürfen Null sein) linear kombiniert werden kann.

Beispiel

Es gibt folgende 3 Vektoren:

$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Diese 3 Vektoren bilden keine Basis im R², da sie linear abhängig sind. So führt z.B. die folgende nichttriviale Linearkombination zum Nullvektor.

$$1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Im Beispiel wurde einfach eine lineare Kombination gezeigt und damit war der Fall erledigt. Um eine lineare Abhängigkeit aber generell zu prüfen, kann man aus den Vektoren ein lineares Gleichungssystem bauen und wenn dieses eine nichttriviale Lösung hat (wie im Beispiel mit den drei Faktoren 1, 1 und - 1 vor den Vektoren), liegt eine lineare Abhängigkeit vor und die Vektoren bilden keine Basis.