Vektorraum

Vektorraum Definition

Ein Vektorraum wird in der Linearen Algebra mathematisch über 10 Axiome definiert. Nur wenn diese 10 Punkte alle erfüllt sind, liegt ein Vektorraum vor.

Hier stark vereinfacht, um eine Idee eines Vektorraums zu bekommen:

Ein Vektorraum umfasst Vektoren als Elemente. Diese können addiert werden oder mit einer beliebigen reellen Zahl (einem Skalar in der Vektorsprache) multipliziert werden und das Ergebnis (der daraus resultierende Vektor) ist dann ebenfalls ein Teil des Vektorraums (verlässt diesen also nicht).

Beispiele

R² ist die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen.

Hat man z.B. zwei Paare (1, 2) und (3, 1/2), kann man diese mit einem Skalar multiplizieren (z.B. das erste mit 3 und das zweite mit $\frac{1}{2}$) und aufaddieren; in Vektorschreibweise:

$$3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1,5 \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 4,5 \\ 6,25 \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis – das Paar (4,5, 6,25) – ist innerhalb des R², R² ist ein Vektorraum.

Nimmt man hingegen z.B. die Menge der natürlichen Zahlen (also 1, 2, 3, 4 usw.) und führt hier eine Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl durch, kann das Ergebnis außerhalb der natürlichen Zahlen liegen:

$$\frac{3}{4} \cdot 2 = 1,5$$

Das Ergebnis 1,5 ist kein Teil der natürlichen Zahlen; deshalb liegt hier kein Vektorraum vor.