Erzeugendensystem
Erzeugendensystem Definition
Ausgangspunkt: Man hat z. B. zwei Vektoren v1 und v2, die Elemente eines Vektorraums V sind.
Kann man dann jeden beliebigen Vektor v des Vektorraums V mindestens auf eine Art als Linearkombination von v1 und v2 darstellen, bildet die aus den beiden Vektoren bestehende Menge {v1, v2} ein Erzeugendensystem von V.
Ist der Vektorraum dreidimensionsal ($\mathbb{R^3}$), muss das Erzeugendensystem mindestens aus 3 Vektoren bestehen. Ist der Vektorraum vierdimensional ($\mathbb{R^4}$), muss das Erzeugendensystem mindestens aus 4 Vektoren bestehen usw.
Ist das Erzeugendensystem (des $\mathbb{R^n}$) linear unabhängig, nennt man es Basis (des $\mathbb{R^n}$).
Beispiel
Beispiel
Hat man z. B. die zwei Vektoren $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ – das sind Einheitsvektoren –, spannen diese beiden Vektoren den $\mathbb{R^2}$ auf. Denn: man kann jeden beliebigen Vektor v dieses Vektorraums aus den beiden zusammensetzen, z.B.:
$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
oder
$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$