Erzeugendensystem

Erzeugendensystem Definition

Ausgangspunkt: Man hat z.B. zwei Vektoren v1 und v2, die Elemente eines Vektorraums V sind.

Kann man dann jeden beliebigen Vektor v des Vektorraums V mindestens auf eine Art als Linearkombination von v1 und v2 darstellen, bildet die aus den beiden Vektoren bestehende Menge {v1, v2} ein Erzeugendensystem von V.

Beispiel

Hat man z.B. die zwei Vektoren $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ – das sind Einheitsvektoren –, spannen diese beiden Vektoren den R2 auf. Denn: man kann jeden beliebigen Vektor v dieses Vektorraums aus den beiden zusammensetzen, z.B.:

$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

oder

$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$