Definition
Eine Potenzfunktion sieht so aus: f (x) = b × xa.
Dabei ist
- b ein konstanter Faktor (dieser kann auch 1 sein, dann reduziert sich die Formel auf f (x) = xa);
- x die (variable) Basis bzw. Grundzahl;
- a der (konstante) Exponent.
Beispiel
Beispiel Potenzfunktion
f (x) = 3 × x2 ist eine Potenzfunktion mit b = 3 und a = 2.
Für x = 1 wäre der Funktionswert f (x = 1) = 3 × 12 = 3 × 1 = 3; für x = 2 wäre der Funktionswert f (x = 2) = 3 × 22 = 3 × 4 = 12 und so weiter.
Setzen wir b = 1 und sehen uns ein paar spezielle Potenzfunktionen an:
- $x^0 = 1$, das heißt egal welches x man einsetzt, der Exponent 0 führt immer zum Ergebnis 1 (zum Beispiel $3^0 = 1$);
- $x^1 = x$ , zum Beispiel $3^1 = 3$;
- $x^{-1} = \frac{1}{x}$, zum Beispiel ist $3^{-1} = \frac{1}{3}$, Potenzfunktionen mit negativen Exponenten können also über den "Kehrwert ohne Minus" berechnet werden, weiteres Beispiel:
- $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, zum Beispiel ist $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Fazit
- f(x) = b · xa – b ist ein konstanter Faktor, a der (konstante) Exponent, x die variable Basis
- Spezialfälle: a = 0 → konstante Funktion; a = 1 → lineare Funktion; a = 2 → quadratische Funktion
- Negativer Exponent: x−a = 1 / xa – die Funktion verläuft reziprok und hat bei x = 0 eine Asymptote
- Abgrenzung zur Exponentialfunktion: bei der Potenzfunktion steht x in der Basis, bei der Exponentialfunktion im Exponenten
Selbsttest: Potenzfunktion
Was beschreibt der Exponent a in f(x) = b · xa?
Wahr oder falsch? Für a = 0 gilt f(x) = b · x0 = 0 für alle x.
Wahr oder falsch? f(x) = b · x−1 lässt sich auch als f(x) = b / x schreiben.
Nochmal versuchen
Aufgabe: Potenzfunktion
Gegeben ist die Potenzfunktion f(x) = 3 · x−2.
Berechnen Sie f(2) und f(−3).
Lösung anzeigen
Umschreiben: f(x) = 3 · x−2 = 3 / x2
f(2): f(2) = 3 / 22 = 3 / 4 = 0,75
f(−3): f(−3) = 3 / (−3)2 = 3 / 9 = 1/3 ≈ 0,33
Hinweis: (−3)2 = 9 > 0 – negativer Exponent ändert nicht das Vorzeichen des Ergebnisses.