Betragsungleichung

Beispiel Betragsungleichung lösen

Für die obige Betragsungleichung |x - 2| < 4 soll die Lösungsmenge bestimmt werden, die alle x umfasst, für welche die Betragsungleichung erfüllt ist.

Fallunterscheidung

Man unterscheidet 2 Fälle:

Fall 1: Für x >= 2 "muss die Betragsfunktion nichts tun", (x - 2) ist dann bereits positiv (zum Beispiel 2 - 2 = 0; 3 - 2 = 1 und so weiter).

Die Ungleichung (x - 2) < 4 kann als x < 6 geschrieben werden (indem auf beiden Seiten 2 addiert werden).

Das heißt, in dem Bereich zwischen einschließlich 2 und unter 6 ist die Ungleichung erfüllt, in Intervallschreibweise: [2, 6[

Fall 2: Für x < 2 muss die Betragsfunktion den Term (x - 2) mit einem negativen Vorzeichen versehen bzw. mit -1 multiplizieren, um sie positiv zu machen, also -(x - 2) = -x +2.

So ergibt sich für x = 1 (und damit < 2) zum Beispiel -1 + 2 = 1, für x = 0 ergibt sich -0 + 2 = 2 und so weiter.

Die Ungleichung -x + 2 < 4 kann durch Umformung als x > -2 geschrieben werden.

Das heißt, in dem Bereich zwischen über -2 und unter 2 ist die Ungleichung erfüllt, in Intervallschreibweise: ]-2, 2[

Die gesamte Lösungsmenge für die Betragsungleichung fasst die beiden Intervalle zusammen und ist dann: ]-2, 6[, also Zahlen > -2 und < 6.

Negativbeispiele

x-Werte jenseits des schmalen Intervalls ]-2, 6[ erfüllen die Ungleichung nicht, Beispiele:

x = -2 (untere, nicht eingeschlossene Intervallgrenze) : |-2 - 2| = 4, das ist nicht kleiner als 4.

x = 6 (obere, nicht eingeschlossene Intervallgrenze) : |6 - 2| = 4, das ist nicht kleiner als 4.

x = -3: |-3 - 2| = 5, das ist nicht kleiner als 4.