Betragsungleichung

Betragsungleichung Definition

Eine Betragsungleichung ist z.B. |x - 2| < 4.

Die Betragsfunktion |x - 2| sorgt dafür, dass die Differenz x - 2 immer positiv wird.

Man unterscheidet 2 Fälle:

Fall 1: Für x >= 2 "muss die Betragsfunktion nichts tun", (x - 2) ist dann bereits positiv (z.B. 2 - 2 = 0; 3 - 2 = 1 usw.).

Die Ungleichung (x - 2) < 4 kann als x < 6 geschrieben werden (indem auf beiden Seiten 2 addiert werden).

D.h., in dem Bereich zwischen einschließlich 2 und unter 6 ist die Ungleichung erfüllt, in Intervallschreibweise: [2, 6[

Fall 2: Für x < 2 muss die Betragsfunktion (x - 2) mit einem negativen Vorzeichen versehen bzw. mit -1 multiplizieren, um sie positiv zu machen, also -(x - 2) = -x +2. So ergibt sich für x = 1 (und damit < 2) z.B. -1 + 2 = 1, für x = 0 ergibt sich -0 + 2 = 2 usw.

Die Ungleichung -x + 2 < 4 kann durch Umformung als x > -2 geschrieben werden.

D.h., in dem Bereich zwischen über -2 und unter 2 ist die Ungleichung erfüllt, in Intervallschreibweise: ]-2, 2[

Die gesamte Lösungsmenge für die Betragsungleichung fasst die beiden Intervalle zusammen und ist dann: ]-2, 6[, also Zahlen > 2 und < 6.