Quadratische Ungleichungen

Quadratische Ungleichungen Definition

Eine quadratische Ungleichung sieht in ihrer allgemeinen Form so aus:

$$x^2 + px + q > 0$$ oder

$$x^2 + px + q < 0$$

Dabei können p oder q auch negative Zahlen sein.

Beispiel

Im Beispiel zur p-q-Formel gab es eine quadratische Gleichung

$$2x^2 + 2x - 12 = 0$$

Diese soll nun als quadratische Ungleichung formuliert werden, z.B.:

$$2x^2 + 2x - 12 > 0$$

Die beiden Nullstellen der Gleichung waren 2 und -3, die Linearfaktordarstellung der Gleichung war:

$$2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 3) = 0$$

Jetzt kann man sich überlegen, wann die linke Seite der Gleichung nicht gleich 0, sondern größer als 0 ist. Dazu müssen beide Faktoren, also (x - 2) und (x + 3) gleichzeitig größer oder gleichzeitig kleiner 0 sein.

Also entweder

• x > 2 und x > -3 (d.h. x muss größer 2 sein) oder
• x < 2 und x < -3 (d.h. x muss kleiner -3 sein).

Die Lösungsmenge umfasst dann den Bereich x < -3 oder x > 2.