Definition
Mit dem Summenzeichen $\sum$ kann man Summen kurz darstellen.
Alternative Begriffe: Summensymbol.
Beispiele
Beispiel 1: einfache Summe von Zahlen berechnen
Es soll folgende Summe berechnet werden
$$\sum_{i = 1}^4 i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$
Ein Computer würde das als Schleife mit 4 Durchläufen abarbeiten:
- im ersten Durchgang ist i = 1, die Zwischensumme ist 1;
- im 2. Durchgang wird i um 1 erhöht und ist 2 und wird zur Zwischensumme addiert, die neue Zwischensumme ist 3;
- im 3. Durchgang wird i um 1 erhöht und ist 3 und wird zur Zwischensumme addiert, die neue Zwischensumme ist 6;
- im 4. und letzten Durchgang wird i um 1 erhöht und ist 4 und wird zur Zwischensumme addiert, die Endsumme ist 10.
Weitere Beispiele:
$$\sum_{i = 1}^4 i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$$
$$\sum_{i = 2}^3 2 \cdot i = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10$$
Erweiterungen / Spezialfälle
- Indexverschiebung Start- und Endwert des Laufindex verschieben, ohne den Summenwert zu ändern
- Teleskopsumme Differenzen aufaddieren, bei denen sich alle mittleren Glieder gegenseitig aufheben
- Doppelsummen Zwei Summenzeichen hintereinander zur Aufsummierung aller Elemente einer Matrix bzw. Tabelle
Fazit
- Das Summenzeichen $\sum$ fasst Summen kompakt zusammen: $\sum_{i=a}^{b} f(i)$ addiert alle Terme f(i) für i = a, a+1, …, b
- Die untere Grenze gibt den Startwert, die obere Grenze den Endwert des Laufindex an
- Beispiele: $\sum_{i=1}^{4} i = 10$ | $\sum_{i=1}^{4} i^2 = 30$ | $\sum_{i=2}^{3} 2i = 10$
Selbsttest: Summenzeichen
Was bewirkt das Summenzeichen $\sum$?
Was bezeichnet die untere Grenze beim Summenzeichen?
Was ergibt $\sum_{i=1}^{4} i^2$?
Wie viele Summanden hat $\sum_{i=2}^{3} 2i$?
Nochmal versuchen
Aufgabe: Summenzeichen auswerten
Berechnen Sie: $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} (2i + 1)$
Lösung anzeigen
Summanden einzeln berechnen:
i = 1: 2 · 1 + 1 = 3
i = 2: 2 · 2 + 1 = 5
i = 3: 2 · 3 + 1 = 7
Ergebnis: 3 + 5 + 7 = 15