Teleskopsumme

Teleskopsumme Definition

Bei einer Teleskopsumme summiert man mit dem Summenzeichen Differenzen auf. Dabei heben sich außer dem ersten und letzten Glied der Summe je zwei Nachbarn gegenseitig auf (also das 2. und 3. Glied, das 4. und 5. Glied usw.) und die Summe kann vereinfacht berechnet werden.

$$\sum_{i=1}^n (a_i - a_{i+1})$$

$$= (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_n - a_{n+1})$$

$a_2, a_3$ usw. kürzen sich raus, übrig bleibt nur: $a_1 - a_{n+1}$

Beispiel

$a_i$ stehe für $i^2$ (der Laufindex wird also quadriert) und die Summe laufe von 1 bis 4.

Dann ist eine mögliche Teleskopsumme:

$$\sum_{i=1}^4 (a_i - a_{i+1})$$

$$= \sum_{i=1}^4 (i^2 - (i+1)^2)$$

$$= (1^2 - 2^2) + (2^2 - 3^2) + (3^2 - 4^2) + (4^2 - 5^2)$$

$$= (-3) + (-5) + (-7) + (-9) = -24$$

Die Teleskopsumme verkürzt berechnet:

$$\sum_{i=1}^n (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1}$$

$$= 1^2 - (4+1)^2 = 1 - 25 = -24$$