Eigenwerte

Eigenwerte Definition

Unter Umständen besitzen quadratische Matrizen einen oder mehrere sogenannte Eigenwerte.

Gilt für die gegebene Matrix A und einen (zu findenden) Vektor x

$$A \cdot x = λ \cdot x$$

(in Worten: Matrix A mal Vektor x ist gleich λ (Lambda) mal Vektor x)

ist die Zahl λ ein Eigenwert der Matrix A und x ein dazugehöriger Eigenvektor.

Beispiel

Die Matrix A sei

$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Multipliziert man diese mit dem Eigenvektor $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, ergibt sich

$$A \cdot x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$

und der Eigenwert ist λ = 3:

$$λ \cdot x = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Der Vektor x ist also deshalb ein Eigenvektor der Matrix A, weil dieser Vektor multipliziert mit der Matrix, ein Vielfaches (Eigenwert) des Vektors ergibt (im Beispiel zeigt der Ergebnisvektor in dieselbe Richtung, ist aber dreimal so lang; bei einem negativen Eigenwert ergäbe sich ein Vektor in umgekehrter Richtung). Damit lässt sich prüfen, ob ein gegebener Vektor ein Eigenvektor ist.

Der Eigenvektor hat so viele Elemente, wie die quadratische Matrix Zeilen bzw. Spalten hat (im Beispiel also 2).

Hat man einen Eigenvektor, ist auch jedes Vielfache (außer das 0-fache) ein Eigenvektor; so ist z.B. auch dies ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:

$$x = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$

$$A \cdot x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 5 + 1 \cdot 10 \\ 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 15 \\ 30 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$

Die Frage, ob es einen solchen Eigenvektor (der kein Nullvektor sein darf) gibt, heißt Eigenwertproblem.

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix lassen sich mit dem charakteristischen Polynom bestimmen.