Definition
Unter Umständen besitzen quadratische Matrizen einen oder mehrere sogenannte Eigenwerte.
Gilt für die gegebene Matrix A und einen (zu findenden) Vektor x
$$A \cdot x = λ \cdot x$$
(in Worten: Matrix A mal Vektor x ist gleich λ (Lambda) mal Vektor x)
ist die Zahl λ ein Eigenwert der Matrix A und x ein dazugehöriger Eigenvektor.
Beispiel
Beispiel: Eigenwert und Eigenvektor
Die Matrix A sei
$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Multipliziert man diese mit dem Eigenvektor $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, ergibt sich
$$A \cdot x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$
und der Eigenwert ist λ = 3:
$$λ \cdot x = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$
Der Vektor x ist also deshalb ein Eigenvektor der Matrix A, weil dieser Vektor multipliziert mit der Matrix, ein Vielfaches (Eigenwert) des Vektors ergibt (im Beispiel zeigt der Ergebnisvektor in dieselbe Richtung, ist aber dreimal so lang; bei einem negativen Eigenwert ergäbe sich ein Vektor in umgekehrter Richtung). Damit lässt sich prüfen, ob ein gegebener Vektor ein Eigenvektor ist.
Der Eigenvektor hat so viele Elemente, wie die quadratische Matrix Zeilen bzw. Spalten hat (im Beispiel also 2).
Hat man einen Eigenvektor, ist auch jedes Vielfache (außer das 0-fache) ein Eigenvektor; so ist z.B. auch dies ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:
$$x = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$
$$A \cdot x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 5 + 1 \cdot 10 \\ 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 15 \\ 30 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$
Die Frage, ob es einen solchen Eigenvektor (der kein Nullvektor sein darf) gibt, heißt Eigenwertproblem.
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix lassen sich mit dem charakteristischen Polynom bestimmen.
Bei einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix oder eine Diagonalmatrix geht es einfacher: hier kann man die Eigenwerte einfach von der Hauptdiagonalen (von links oben bis rechts unten) ablesen.
Die obige Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix (alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen – das ist hier nur das eine Element in der linken unteren Ecke – sind 0), die beiden Eigenwerte sind deshalb die Werte 1 und 3 auf der Hauptdiagonalen.
Fazit
- Ein Eigenwert λ und ein Eigenvektor x einer quadratischen Matrix A erfüllen A · x = λ · x (mit x ≠ 0).
- Eigenwerte geben an, um welchen Faktor ein Eigenvektor durch die Matrix gestreckt oder gestaucht (und ggf. gespiegelt) wird.
- Bei Dreiecks- und Diagonalmatrizen lassen sich die Eigenwerte direkt von der Hauptdiagonalen ablesen.
- Jedes Vielfache eines Eigenvektors (außer dem Nullvektor) ist ebenfalls ein Eigenvektor zum selben Eigenwert.
Selbsttest: Eigenwerte
Aufgabe: Eigenvektor überprüfen
Gegeben ist die Matrix
$$A = \begin{pmatrix}5 & 2 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$$
a) Lesen Sie die Eigenwerte von A ab.
b) Überprüfen Sie, ob der Vektor $x = \begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}$ ein Eigenvektor von A ist, und bestimmen Sie ggf. den zugehörigen Eigenwert.
a) Eigenwerte:
A ist eine obere Dreiecksmatrix → Eigenwerte direkt auf der Hauptdiagonalen: λ1 = 5 und λ2 = 3.
b) Eigenvektor-Probe:
$$A \cdot x = \begin{pmatrix}5 & 2 \\ 0 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 3\end{pmatrix}$$
Vergleich mit λ · x:
$$3 \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 3\end{pmatrix} \checkmark$$
Ergebnis: Da A · x = 3 · x gilt, ist x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ2 = 3.