Definition
Zwei quadratische Matrizen A und B sind ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass gilt:
$$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$
oder
$$A = S \cdot B \cdot S^{-1}$$
Dabei steht S-1 für die Inverse der "gesuchten" Matrix S.
Alternative Begriffe: Ähnlichkeit von Matrizen.
Beispiel
Wir geben für dieses Beispiel die Matrizen A und S vor, also die Matrizen auf der rechten Seite der obigen ersten Gleichung.
Wenn wir dann die Multiplikation der rechten Seite durchführen, erhalten wir eine Matrix B, die zu der Matrix A ähnlich ist.
Die Matrix A ist:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Die Matrix S ist:
$$S = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Die inverse Matrix zur Matrix S ist:
$$S^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
(Die Inverse ist hier "zufällig" gleich der ursprünglichen Matrix S.)
Nun die Matrizen multiplizieren:
$$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$
$$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =$$
$$\begin{pmatrix}0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$B = \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$
$$B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Diese Matrix B ist nun ähnlich zur Matrix A.
Eigenschaften ähnlicher Matrizen
Ähnliche Matrizen haben
- dieselbe Determinante,
- denselben Rang,
- dieselbe Spur,
- dasselbe charakteristische Polynom,
- dieselben Eigenwerte,
- dieselben algebraischen und geometrischen Vielfachheiten.
Fazit
- Zwei Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn B = S-1 · A · S für eine invertierbare Matrix S gilt.
- Ähnlichkeit entspricht einem Basiswechsel: A und B beschreiben dieselbe lineare Abbildung in verschiedenen Koordinatensystemen.
- Ähnliche Matrizen teilen stets dieselbe Determinante, denselben Rang, dieselbe Spur sowie alle Eigenwerte.
- Die Transformationsmatrix S muss invertierbar sein; S-1 und S „umrahmen“ die Matrix A.
Selbsttest: Ähnliche Matrizen
Aufgabe: Ähnliche Matrix berechnen
Gegeben sind die Matrizen
$$A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
Berechnen Sie die zu A ähnliche Matrix B = S-1 · A · S.
Schritt 1 – S-1 bestimmen:
det(S) = 1 · 1 − 2 · 0 = 1
$$S^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
Schritt 2 – S-1 · A:
$$S^{-1} \cdot A = \begin{pmatrix}1 & -2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -4 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$$
Schritt 3 – (S-1 · A) · S = B:
$$B = \begin{pmatrix}4 & -4 \\ 0 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 4 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$$
Ergebnis: $B = \begin{pmatrix}4 & 4 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$
Probe (Determinante): det(A) = 4 · 2 = 8; det(B) = 4 · 2 − 4 · 0 = 8 ✓