Ähnliche Matrizen

Beispiel: Ähnliche Matrizen

Wir geben für dieses Beispiel die Matrizen A und S vor, also die Matrizen auf der rechten Seite der obigen ersten Gleichung.

Wenn wir dann die Multiplikation der rechten Seite durchführen, erhalten wir eine Matrix B, die zu der Matrix A ähnlich ist.

Die Matrix A ist:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Die Matrix S ist:

$$S = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Die inverse Matrix zur Matrix S ist:

$$S^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

(Die Inverse ist hier "zufällig" gleich der ursprünglichen Matrix S.)

Nun die Matrizen multiplizieren:

$$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$

$$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =$$

$$\begin{pmatrix}0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Diese Matrix B ist nun ähnlich zur Matrix A.