Matrix-Vektor-Produkt

Beispiel

Ein Unternehmen stellt dreibeinige Hocker her. Jedes Bein benötigt 2 Holzeinheiten (z. B. Kubikdezimeter Holz) und eine Schraube zum Befestigen, jede Sitzfläche benötigt 5 Holzeinheiten und keine Schrauben; als Matrix A:

$$A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Die Materialbedarfe eines Beins stehen in Spalte 1, die Materialbedarfe einer Sitzfläche in Spalte 2; in der erste Zeile stehen die Holzeinheiten, in der zweiten Zeile die Schrauben.

Ein Hocker hat 3 Beine und 1 Sitzfläche; als Vektor b:

$$b = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Möchte man nun wissen, wieviele Holzeinheiten und Schrauben in Summe benötigt werden, um einen Hocker herzustellen, kann man die Matrix mit dem Vektor multiplizieren.

Matrix mal Vektor

Die Matrix-Vektor-Multiplikation geht hier, da die Anzahl der Spalten (2 Spalten) der Anzahl der Vektorelemente (2 Elemente) entspricht.

$$\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}11 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Es werden die Elemente der 1. Zeile der Matrix mit den Elementen des Vektors multipliziert und die so entstehenden Produkte aufsummiert, dann die Elemente der 2. Zeile der Matrix mit den Elementen des Vektors und die so entstehenden Produkte aufsummiert.

Ergebnis: für den Hocker werden 11 Holzeinheiten und 3 Schrauben benötigt.

Man muss hier etwas aufpassen, was in dem jeweiligen Vektor steht:

Der Vektor b, mit dem die Matrix multipliziert wird, hat als erstes (oberstes) Element die Anzahl der Beine und als zweites Element die Anzahl der Sitzflächen für einen Hocker.

Der Ergebnisvektor hat als oberstes Element die Anzahl der Holzeinheiten und als zweites Element die Anzahl der Schrauben, greift also die "Zeilenbeschriftungen" der Matrix wieder auf.