Elementarmatrix

Definition

Eine Elementarmatrix entsteht aus einer Einheitsmatrix durch eine einzige elementare Zeilenumformung.

Diese Zeilenumformung kann etwa darin bestehen, dass man

  • eine Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert,
  • Zeilen vertauscht oder
  • das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert.

Beispiele

Die 3 x 3 Einheitsmatrix ist:

$$E_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Beispiel 1

Vertauscht man die zweite und dritte Zeile erhält man eine Elementarmatrix:

$$E_{Elementar} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Beispiel 2

Multipliziert man die dritte Zeile der Einheitsmatrix mit 3, erhält man eine andere Elementarmatrix:

$$E_{Elementar} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$