Definition
Eine Elementarmatrix entsteht aus einer Einheitsmatrix durch eine einzige elementare Zeilenumformung.
Diese Zeilenumformung kann etwa darin bestehen, dass man
- eine Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert,
- Zeilen vertauscht oder
- das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert.
Beispiele
Die 3 x 3 Einheitsmatrix ist:
$$E_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Beispiel 1
Vertauscht man die zweite und dritte Zeile erhält man eine Elementarmatrix:
$$E_{Elementar} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Beispiel 2
Multipliziert man die dritte Zeile der Einheitsmatrix mit 3, erhält man eine andere Elementarmatrix:
$$E_{Elementar} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Fazit
- Eine Elementarmatrix entsteht durch genau eine elementare Zeilenumformung aus der Einheitsmatrix.
- Erlaubte Umformungen: Zeile mit Skalar multiplizieren, zwei Zeilen tauschen, Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.
- Elementarmatrizen bilden die theoretische Grundlage des Gauß-Algorithmus: jede Zeilenumformung entspricht einer Linksmultiplikation mit der zugehörigen Elementarmatrix.
Selbsttest: Elementarmatrix
Aufgabe: Elementarmatrizen erstellen
Gegeben ist die 3 × 3 - Einheitsmatrix E3. Erstellen Sie daraus zwei verschiedene Elementarmatrizen:
a) Multiplizieren Sie die zweite Zeile von E3 mit dem Faktor 5.
b) Addieren Sie das 3-Fache der ersten Zeile von E3 zur dritten Zeile.
a) Zeile 2 × 5:
$$E_a = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Nur Zeile 2 wurde verändert (von 1 auf 5) → genau eine Umformung → Elementarmatrix. ✓
b) Zeile 3 + 3 × Zeile 1:
$$E_b = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Das 3-Fache von Zeile 1 (3, 0, 0) wurde zu Zeile 3 (0, 0, 1) addiert → (3, 0, 1). Genau eine Umformung → Elementarmatrix. ✓