Matrizen

Matrizen Definition

Mit Matrizen lassen sich z.B. Daten organisieren und Gleichungssysteme darstellen und einfach berechnen.

Eine Matrix besteht aus "Zeilen" und "Spalten" (wie eine Tabelle, ein Schachbrett oder eine Tafel Schokolade) und auf den "Feldern" stehen Zahlen.

Beispiel 2 × 2 - Matrix (mit 2 Zeilen und 2 Spalten)

Ein Möbelunternehmen hat nur 2 Produkte (Tische und Stühle) und führt 2 Filialen (München und Hamburg).

Wurden in München im Dezember 2 Tische und 6 Stühle verkauft und in Hamburg 3 Tische und 12 Stühle, lässt sich dies als Matrix wie folgt darstellen:

$$A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$

Dabei bildet die linke Spalte München ab und die rechte Spalte Hamburg (statt Spalte sagt man auch Spaltenvektor); die erste Zeile sind die Tische, die zweite Zeile die Stühle (statt Zeile sagt man auch Zeilenvektor); der Nachteil gegenüber einer Tabelle ist, dass die Spalten- und Zeilenüberschriften fehlen – man muss wissen oder sagen, was dargestellt werden soll.

Man könnte mit dieser Matrix Berechnungen durchführen, z.B. Summen bilden oder mit einem Preisvektor multiplizieren, um die Umsätze zu berechnen.

Das wäre ein Beispiel für eine 3 × 2 - Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \\ 12 & 24 \end{pmatrix}$$

Und das ein Beispiel für eine 2 × 4 - Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 12 & 18 & 24 \end{pmatrix}$$

Zeilen- und Spaltenzahl können also unterschiedlich sein, quadratische Matrizen mit gleich vielen Zeilen wie Spalten spielen aber eine besonders große Rolle in der Linearen Algebra.

Allgemein lassen sich die Elemente einer Matrix über den jeweiligen Index $a_{ij}$ adressieren (dabei steht i für die Zeile und j für die Spalte):

$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$

Neben der Datenabbildung ist die zweite wichtige Aufgabe von Matrizen, dass man lineare Gleichungssysteme in Matrizen packen kann und dann mit ein paar Rechenschritten bzw. einem Algorithmus das Gleichungssystem lösen kann (falls es sich lösen lässt).

Beispiel

Im Beispiel zum Gauß-Algorithmus war das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen x, y und z:

x + y = 3

2x - 2y = -2

2x + z = 5

Die Koeffizienten (die Zahlen vor den x, y und z) und die Zahlen rechts von dem =-Zeichen überträgt man in eine Matrix (dabei wird die linke und die rechte Seite der Gleichungen durch einen senkrechten Strich getrennt):

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&0&3 \\ 2&-2&0&-2 \\ 2&0&1&5 \end{array} \right]$$

Dann kann der Algorithmus (v.a. auch ein Computer) damit arbeiten und das Gleichungssystem lösen.

Alternative Begriffe: Matrizenrechnung, Rechnen mit Matrizen.