Einheitsmatrix

Einheitsmatrix Definition

Eine Einheitsmatrix (auch: Identitätsmatrix) ist eine quadratische Matrix (also 2 × 2, 3 × 3 und so weiter), bei der die Zahlen auf der Hauptdiagonalen von links oben nach rechts unten 1 sind und alle anderen Elemente sind 0.

Die Einheitsmatrix wird meist mit E abgekürzt, manchmal auch mit I (Identitätsmatrix bzw. englisch Identity Matrix; das ist etwas problematisch, weil I auch für die Inverse Matrix stehen kann).

Geht es zum Beispiel um eine 3 × 3 - Einheitsmatrix, macht man das teilweise mit einem tiefgestellten Index kenntlich: E3.

Beispiele

Beispiele für eine Einheitsmatrix

$$E_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$E_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$E_4 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Multiplikation mit Einheitsmatrix

Multipliziert man eine Matrix A mit der Einheitsmatrix E, kommt unverändert die Matrix A heraus (so wie wenn man eine Zahl mit 1 multipliziert). Man sagt auch, die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bei einer Matrixmultiplikation.

Hier muss man etwas aufpassen: je nachdem, ob man eine Matrix mit einer Einheitsmatrix multipliziert oder umgekehrt eine Einheitsmatrix mit einer Matrix, benötigt man eventuell unterschiedlich große Einheitsmatrizen.

Das liegt daran, dass bei der Matrixmultiplikation die Anzahl der Spalten der linken Matrix der Anzahl der Zeilen der rechten Matrix entsprechen muss.

Beispiel (mit einer Matrix A):

$$A \cdot E = A$$

$$\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 6 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \\ \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

Und umgekehrt:

$$E \cdot A = A$$

$$ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} =$$

$$\begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + 0 \cdot 6 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 & 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 6 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 6 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

Matrix und inverse Matrix

Multipliziert man eine Matrix mit ihrer inversen Matrix, erhält man eine Einheitsmatrix.

$$A \cdot A^{-1} = E$$

Inverse einer Einheitsmatrix

Die Inverse einer Einheitsmatrix ist wiederum diese Einheitsmatrix.

$$E^{-1} = E$$

Einheitsmatrix als Hilfsmittel

Die Einheitsmatrix wird oft als Hilfsmittel benutzt, zum Beispiel um mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus die inverse Matrix zu berechnen oder um Eigenwerte und Eigenvektoren mit dem Charakteristischen Polynom zu berechnen.