Exponentialverteilung

Exponentialverteilung Definition

Die Exponentialverteilung ist eine stetige Verteilung.

Mit Hilfe der Exponentialverteilung können vor allem Lebensdauer- oder Wartezeitenprobleme modelliert werden.

Die Exponentialverteilung ist eng mit der Poisson-Verteilung verwandt. Während letztere eine diskrete Verteilung ist und die Zufallsvariable die Anzahl des Eintretens eines bestimmten Ereignisses (eine diskrete Größe) widerspiegelt, ist die Exponentialverteilung eine stetige Verteilung mit einer Zufallsvariablen, die beispielsweise den zeitlichen Abstand (eine stetige Größe) zwischen 2 Ereignissen darstellt.

Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung

Der Durchschnitts- bzw. Erwartungswert der Exponentialverteilung ist entsprechend 1/Erwartungswert der Poissonverteilung.

Beispiel

Der Erwartungswert λ im Beispiel zur Poisson-Verteilung war 5 (Kundenbesuche je Stunde).

Der Erwartungswert der Exponentialverteilung für den zeitlichen Abstand zwischen 2 Kundenbesuchen ist dann 1/λ = 1/5 = 0,20 Stunden = 12 Minuten.

Der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist also 1/λ und ihre Varianz ist 1/λ2 (bzw. ihre Standardabweichung als Wurzel der Varianz ist 1/λ; das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung sind identisch).

Beispiel

Beispiel: Exponentialverteilung

Die durchschnittliche Lebensdauer (Nutzungsdauer) einer Maschine sei 10 Jahre.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine während der Laufzeit kaputt geht, sei exponentialverteilt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine innerhalb der ersten 5 Jahre kaputt geht?

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung lautet:

$$F(x) = \begin {cases} 1 - e^{-\lambda \cdot x} & x \geq 0 \\ 0 & x \lt 0 \end {cases}$$

Dabei ist

  • der Parameter λ (Lambda) der Kehrwert der mittleren, durchschnittlichen Lebensdauer bzw. der Kehrwert des Erwartungswerts, hier: 1/10 = 0,1;
  • x ist die interessierende Lebensdauer und
  • e ist die Eulersche Zahl 2,71828 (wenn man sie mit nur 5 Nachkommastellen darstellt).

F (5 Jahre) = 1 - e- 0,1 × 5 = 1 - e- 0,5 = 1 - 2,71828 -0,5 = 1 - 0,6065 = 0,3935 (ca. 39 %).

"Höchstens"-Wahrscheinlichkeit

Mit ca. 39 % Wahrscheinlichkeit hält die Maschine maximal 5 Jahre oder mit anderen Worten: 39 % der Maschinen fallen bereits innerhalb der ersten 5 Jahre aus.

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung lautet:

$$f(x) = \begin {cases} \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} & x \geq 0 \\ 0 & x \lt 0 \end {cases}$$

Die Dichtefunktion für die Exponentialverteilung gezeichnet:

Dichte der Exponentialverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht der Fläche unter der Kurve (hier: bis 5 Jahre).

"Mindestens"-Wahrscheinlichkeit

Soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die Maschine mindestens 5 Jahre hält, ist dies e- λ x = e-0,1 × 5 = e-0,5 = 0,6065 (ca. 60 %); oben wurde die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet.