Standardabweichung

Standardabweichung Definition

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz (Formel: Standardabweichung = √ Varianz). Die Standardabweichung ist ein Streuungsparameter, der anzeigt, inwieweit die Werte um den arithmetischen Mittelwert streuen; je größer die Standardabweichung (in Relation zum Mittelwert), desto größer die Streuung (und desto schlechter spiegelt der Mittelwert die Daten wider).

Die Standardabweichung wird oft mit dem griechischen Buchstaben σ (Sigma) abgekürzt; sie hat dieselbe Einheit, wie die zugrundeliegenden Daten (im Beispiel unten: Jahre).

Beispiel: Standardabweichung berechnen

Auf Basis der Beispieldaten zur Varianz: Bei der Familie mit 5 Kindern im Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren war der arithmetische Mittelwert 6 und die Varianz war 16.

Die Standardabweichung σ ist dann 4 (Quadratwurzel aus 16).

D.h., im Mittel streuen die Werte (die Alter der Kinder) um 4 Jahre in Bezug auf den arithmetischen Durchschnitt (6 Jahre). Das ist eine relativ große Standardabweichung (4 Jahre bei 6 Jahren Durchschnittsalter), die Alter der Kinder liegen ja auch ziemlich auseinander — und das spiegelt die Standardabweichung eben wider.

Wären die 5 Kinder Fünflinge und alle 6 Jahre alt, wäre der Durchschnitt natürlich auch 6 Jahre und die Varianz und Standardabweichung wären 0.

In dem obigen Beispiel sind wir von einer Vollerhebung ausgegangen (alle Kinder der Familie wurden erfasst). Handelt es sich hingegen um eine Stichprobe, wird (wie bei der Varianz) nicht durch die Anzahl der Erfassten (im obigen Beispiel: 5), sondern durch die Stichprobenanzahl minus 1 geteilt.

Diese sog. empirische Stichprobenvarianz wird zur Abgrenzung von der obigen Standardabweichung der Grundgesamtheit mit s abgekürzt; die Varianz wäre dann in dem obigen Beispiel 20 gewesen (vgl. Varianz-Beispiel) und die empirische Standardabweichung wäre entsprechend die Wurzel aus 20 = 4,47.

Alternative Begriffe: empirische Streuung, mittlere quadratische Abweichung, standard deviation (kurz: SD), Stichprobenstreuung.

Standardabweichungen vergleichen

Der Vergleich von Standardabweichungen verschiedener Datenreihen ist nur sinnvoll, wenn die Maßstäbe einheitlich sind.

Beispiel: Standardabweichungen vergleichen

Angenommen, in einem anderen Land würde man das Alter nicht in Jahren, sondern in Halbjahren messen. Dann hätte die obige 5-köpfige Familie die Alter 2, 6, 10, 18 und 24 Halbjahre.

Der Durchschnitt wäre dann 12, die Varianz 64 und die Standardabweichung 8.

Die Standardabweichung ist doppelt so hoch wie im Ausgangsbeispiel, obwohl es sich um dieselbe Familie mit derselben Streuung der Alter, nur anders gemessen, handelt.

Ein vernünftiger Vergleich von Standardabweichungen setzt die Messung in gleichen Maßstäben voraus; das gilt z.B. auch, wenn Standardabweichungen für Datenreihen in unterschiedlichen Währungen berechnet werden.

Der Variationskoeffizient hingegen wäre unabhängig von der Messung (in Jahren oder in Halbjahren) identisch.