Definition
Faktorisieren bedeutet: Summen oder Differenzen werden in Produkte umgewandelt.
Wie?
Dafür klammert man aus oder nutzt die binomischen Formeln.
Wofür?
Man kann dann Dinge leichter erkennen, beispielsweise Nullstellen einer Funktion.
Oder man kann Brüche nach einer Faktorisierung kürzen.
Beispiele
Beispiel 1: Ausklammern
Eine Funktion lautet: $f(x) = x^2 - 4x$
Die Differenz $x^2 - 4x$ kann als Produkt geschrieben werden, indem man hier x ausklammert: $x \cdot (x - 4)$
Bei der faktorisierten Form der Funktion $f(x) = x \cdot (x - 4)$ kann man nun leicht erkennen, wo die Nullstellen der Funktion liegen: Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist; also bei x1 = 0 (1. Faktor) und bei x2 = 4 (der 2. Faktor x - 4 ist dann 0).
Neben dem Ausklammern werden oft auch die binomischen Formeln benötigt, um Terme zu faktorisieren.
Beispiel 2: Binomische Formeln nutzen
Eine Funktion lautet: $f(x) = x^2 - 4$
Den Term kann man auch als $x^2 - 2^2$ schreiben und mit der 3. binomischen Formel $a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$ mit a = x und b = 2 als $(x + 2) \cdot (x - 2)$.
Die Nullstellen sind dann wieder gut zu erkennen: x1 = -2 (der 1. Faktor x + 2 wird 0) und x2 = 2 (der 2. Faktor x - 2 wird 0).
Beispiel 3: Linearfaktorzerlegung
Eine weiteres Beispiel ist die Linearfaktorzerlegung von Polynomen.
Fazit
- Faktorisieren wandelt eine Summe oder Differenz in ein Produkt um — typische Methoden: Ausklammern eines gemeinsamen Faktors und Anwenden der binomischen Formeln
- Die faktorisierte Darstellung ermöglicht das direkte Ablesen von Nullstellen: Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist (Satz vom Nullprodukt)
- Auch Brüche lassen sich nach dem Faktorisieren kürzen, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben
Selbsttest: Faktorisieren
Aufgabe: Faktorisieren
Faktorisieren Sie $f(x) = x^2 - 9$ und bestimmen Sie die Nullstellen.
Faktorisieren (3. binomische Formel: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$):
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
Nullstellen: $x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$ und $x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
Probe: $(-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$ ✓ $3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$ ✓