Linearfaktorzerlegung

Beispiel Linearfaktorzerlegung

Das Polynom im Beispiel zur p-q-Formel war 2x² + 2x - 12 (eine quadratische Funktion bzw. Parabel).

Nun berechnet man zunächst die Nullstellen (das heißt, die Werte für x, für die das Polynom 2x² + 2x - 12 = 0 ist).

Das wurde mit der p-q-Formel bereits gemacht, die beiden Nullstellen waren x₁ = 2 und x₂ = -3.

Nun erfolgt die Zerlegung in Linearfaktoren:

2 × (x - x₁) × (x - x₂)

Das nennt man auch die Nullstellenform bzw. Produktform der quadratischen Funktion bzw. Parabel.

Dabei resultiert der Faktor 2 am Anfang des Terms daraus, dass das Polynom mit 2x² begann, also x² mit dem Faktor 2 multipliziert war (bei 3x² wäre der Faktor 3 und so weiter).

2 × (x - 2) × (x - (-3))

Die endgültige Linearfaktordarstellung ist dann:

2 × (x - 2) × (x + 3)

Das ist immer noch dasselbe "Problem" wie oben – allerdings mit 2 Vorteilen in der Darstellung:

• die Nullstellen 2 und - 3 sind sofort sichtbar (jeweils ein Faktor und damit das gesamte Produkt wird dadurch 0);
• ist die Linearfaktordarstellung in einem Bruch im Zähler oder Nenner, kann unter Umständen gekürzt werden.