Geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel Definition

Das geometrische Mittel dient vor allem der Berechnung durchschnittlicher Wachstumsfaktoren (zum Beispiel bezogen auf Umsätze, das Wirtschaftswachstum oder Aktienindizes).

Alternative Begriffe: Geometrischer Mittelwert.

Formel

Die Formel für das geometrische Mittel lautet:

$$\bar x_{geometrisch} = (\prod_{i = 1}^n x_{i})^{\frac{1}{n}}$$

Dabei sind xi die Werte und n ist die Anzahl der Werte.

Die Formel in Worten: das Produkt der Werte berechnen (also Multiplikation aller Werte) und mit 1/n potenzieren.

Statt mit 1/n zu potenzieren, kann man auch die n-te Wurzel ziehen.

Beispiel

Beispiel: Geometrisches Mittel berechnen

Ein Unternehmen hat in den vergangenen Geschäftsjahren seit Gründung folgende Umsätze erzielt (kursiv in Klammern der jeweilige Wachstumsfaktor – bzw. im Jahr 04 Schrumpfungsfaktor – in Bezug zum Vorjahr):

  • 01: 1.000.000 €
  • 02: 1.200.000 € (1,2; 1.000.000 € × 1,2 = 1.200.000 €)
  • 03: 1.320.000 € (1,1; 1.200.000 € × 1,1 = 1.320.000 €)
  • 04: 1.188.000 € (0,9; 1.320.000 € × 0,9 = 1.188.000 €)

Das Unternehmen möchte nun ermitteln, wie hoch das durchschnittliche Umsatzwachstum war und berechnet dazu das geometrische Mittel:

3. Wurzel aus dem Produkt der 3 Wachstumsfaktoren (1,2 × 1,1 × 0,9) = 3. Wurzel aus 1,188 = 1,0591.

Der durchschnittliche Wachstumsfaktor ist also 1,0591.

Mit anderen Worten: der Umsatz wächst durchschnittlich jährlich um 5,91 %; diese durchschnittliche jährliche Wachstumsrate wird auch oft als Compound Annual Growth Rate (CAGR) bezeichnet.

Kürzere Rechnung: 3. Wurzel aus (1.188.000 / 1.000.000) = 1,0591.

Kontrollrechnung: 1.000.000 € x 1,05913 = 1.187.985 € (Rundungsfehler, eigentlich 1.188.000 €).

Bei 4 Faktoren wäre es entsprechend die 4. Wurzel und so weiter

Das geometrische Mittel funktioniert nur, wenn Wachstumsfaktoren (wie zum Beispiel 1,2 im Jahr 02 im obigen Beispiel) verwendet werden und nicht Wachstumsraten (zum Beispiel Wachstumsrate 0,2 bzw. 20 % bei der Umsatzsteigerung von 1.000.000 € auf 1.200.000 € im Jahr 02); wenn Wachstumsraten gegeben sind, müssen diese zunächst in Wachstumsfaktoren transferiert werden:

Wachstumsfaktor = Wachstumsrate + 1 = 0,2 + 1 = 1,2.

Schrumpfung

Das geometrische Mittel kann auch im Falle der Schrumpfung (negatives Wachstum) verwendet werden.

Beispiel: Schrumpfungsfaktor berechnen

Ein Unternehmen möchte seine Schulden von 1 Mio. € innerhalb von 5 Jahren auf 500.000 € halbieren.

Mit welchem durchschnittlichen Faktor bzw. mit welcher durchschnittlichen Rate müssen die Schulden jährlich getilgt werden?

Die 5. Wurzel aus (500.000 € / 1.000.000 €) = 5. Wurzel aus 0,5 = 0,87055 ergibt den Schrumpfungsfaktor (negativen Wachstumsfaktor).

Kontrolle: 1.000.000 € × 0,870555 = 499.998,38 € (gerundet 500.000 €).

Die Schrumpfungsrate/negative Wachstumsrate ist der Schrumpfungsfaktor - 1 = 0,87055 - 1 = -0,12945 = -12,95 %.