Harmonisches Mittel

Beispiel 1: Harmonisches Mittel berechnen

Ein Bierbrauer hat 2 unterschiedliche Abfüllanlagen.

Die bessere Abfüllanlage 1 schafft in der Stunde 8.000 Flaschen.

Die schlechtere Abfüllanlage 2 benötigt die doppelte Zeit und schafft somit nur 4.000 Flaschen pro Stunde.

Frage

Der Bierbrauer möchte nun wissen, wie hoch die durchschnittliche Abfüllmenge ist.

Die Antwort auf die obige Frage gibt das harmonische Mittel.

Dabei geht man davon aus, dass dieselbe Menge, sagen wir 8.000 Flaschen, jeweils mit Abfüllanlage 1 und 2 hergestellt wird:

• Anlage 1 stellt die 8.000 Flaschen mit einer Rate von 8.000 Flaschen pro Stunde her, benötigt somit 1 Stunde;
• Anlage 2 stellt die 8.000 Flaschen mit einer Rate von 4.000 Flaschen pro Stunde her, benötigt somit 2 Stunden.

Es werden also 3 Stunden benötigt, um in Summe 16.000 Flaschen herzustellen.

Formel

Das harmonische Mittel als Formel:

$$\frac{1 \, Std \cdot 8.000 \, Fl / Std + 2 \, Std \cdot 4.000 \, Fl / Std}{1 \, Std + 2 \, Std}$$

$$= \frac{16.000 \,Fl}{3 \,Std}= 5.333,33 \,Fl / Std$$

Es werden also durchschnittlich 5.333,33 Flaschen je Stunde abgefüllt (16.000 Flaschen in 3 Stunden), wenn man mit beiden Anlagen dieselbe Menge herstellt (und nicht: die Anlagen dieselbe Zeit laufen lässt).

Harmonisches Mittel vs. arithmetisches Mittel

Wenn der Bierbrauer sich hingegen auf die gleiche Zeit (jeweils 1 Stunde) und nicht auf die gleiche Menge (jeweils 8.000 Flaschen) beziehen wollte, würde er das arithmetische Mittel („Durchschnitt“) berechnen:

(8.000 Flaschen + 4.000 Flaschen) / 2 Stunden = 12.000 Flaschen / 2 Stunden = 6.000 Flaschen pro Stunde.

Beispiel 2: Geschwindigkeit

Ein Autofahrer fährt die Strecke von 100 km auf der Autobahn von Regensburg nach Nürnberg mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. Auf der Rückfahrt von Nürnberg nach Regensburg fährt er aufgrund des dichten Nebels nur mit 50 km/h.

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Die Antwort gibt das harmonische Mittel: Der Autofahrer benötigt für die Hinfahrt 1 Stunde, für die Rückfahrt 2 Std.

$$\frac{1 \, Std \cdot 100 \, km / Std + 2 \, Std \cdot 50 \, km / Std}{1 \, Std + 2 \, Std}$$

$$\frac{200 \, km}{3 \, Std} = 66,7 \, km/h$$