Definition
Der Gradient einer Funktion ergibt sich daraus, dass die partiellen Ableitungen (erster Ordnung) der Funktion zu einem Vektor zusammengefasst werden.
Der Gradient zeigt dann die Richtung der größten Änderung der Funktion an.
Alternative Begriffe: Gradientenvektor.
Beispiel
Im Beispiel zur partiellen Ableitung war die Funktion f (x, y) = x2 + y3.
Daraus konnten zwei partielle Ableitungen erster Ordnung gebildet werden:
Die partielle Ableitung nach x: fx (x, y) = 2x;
Die partielle Ableitung nach y: fy (x, y) = 3y2.
Gradient berechnen
Der Gradient der Funktion f (x, y) ist dann $$grad \, f = \nabla f = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y^2\end{pmatrix}$$
Das geht auch für Funktionen mit 3 Variablen x, y und z oder mehr Variablen.
Fazit
- Der Gradient ∇f ist der Vektor aller partiellen Ableitungen 1. Ordnung: ∇f = (fx, fy, …)T
- Er zeigt die Richtung der stärksten Zunahme des Funktionswerts an diesem Punkt
- Der Gradient kann für Funktionen mit beliebig vielen Variablen gebildet werden
- Anwendung: Gradientenabstieg minimiert Funktionen, indem man entgegen dem Gradienten schreitet
Selbsttest: Gradient
Aufgabe: Gradient
Berechnen Sie den Gradienten von f(x, y) = 2x2 − 3y2 + xy an der Stelle (2, 1).
Partielle Ableitungen:
fx(x, y) = 4x + y
fy(x, y) = −6y + x
An der Stelle (2, 1):
fx(2,1) = 4 × 2 + 1 = 9
fy(2,1) = −6 × 1 + 2 = −4
Gradient: ∇f(2,1) = (9, −4)T
Probe: f(2,1) = 8 − 3 + 2 = 7
f(2,01; 1) ≈ 7 + 9 × 0,01 = 7,09 | Exakt: 2 × 4,0401 − 3 + 2,01 = 7,0902 ✓