Partielle Ableitung

Beispiel: Partielles Ableiten

Die Funktion sei f (x, y) = x² + y³.

Partielle Ableitungen 1. Ordnung

Daraus können zwei partielle Ableitungen erster Ordnung gebildet werden (hier werden Potenzfunktionen abgeleitet):

Die partielle Ableitung nach x ist: f_x (x, y) = 2x;

Die partielle Ableitung nach y ist: f_y (x, y) = 3y².

Interpretation

Der Wert der obigen Funktion hängt von x und y ab (den beiden Variablen der Funktion).

Die partielle Ableitung gibt an, wie hoch die Änderungsrate an einer Stelle ist, wenn nur eine der beiden Variablen marginal erhöht wird.

Berechnen wir als Ausgangswert zum Beispiel den Funktionswert für x = 1 und y = 2:

f (1, 2) = 1² + 2³ = 1 + 8 = 9.

Erhöhen wir nun x marginal um beispielsweise 0,01 (und lassen y unverändert), ist der Funktionswert:

f (1,01, 2) = 1,01² + 2³ = 1,0201 + 8 = 9,0201.

Und das spiegelt die 1. partielle Ableitung nach x wieder:

f_x (x, y) = 2x.

Erhöht man x an der Stelle x = 1 um 0,01 von 1 auf 1,01, erhöht sich der Wert der Funktion f (x, y) = x² + y³ ungefähr um das 2-fache dieses Wertes, also um 2 × 0,01 = 0,02.

Die 1. partielle Ableitung gibt also die Änderungsrate der Funktion (für jeweils eine der Variablen) an.

Analog für y:

Ausgangswert: f (1, 2) = 1² + 2² = 1 + 8 = 9.

Erhöhen wir nun y marginal um beispielsweise 0,01 (und lassen x unverändert), ist der Funktionswert:

f (1, 2,01) = 1² + 2,01³ = 1 + 8,1206 = 9,1206.

Und das spiegelt die 1. partielle Ableitung nach y wieder:

fy (x, y) = 3y².

Erhöht man y an der Stelle x = 2 um 0,01 von 2 auf 2,01, erhöht sich der Wert der Funktion f (x, y) = x² + y³ ungefähr um den Faktor 3 × 2² = 3 × 4 = 12, also das 12-fache dieses Wertes (= 0,12).

Partielle Ableitungen 2. Ordnung

Durch erneutes Ableiten erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

Die partielle Ableitung zweiter Ordnung nach x ist: f_xx (x, y) = 2;

Die partielle Ableitung zweiter Ordnung nach y ist: f_yy (x, y) = 6y.