Hesse-Matrix

Beispiel: Hesse-Matrix bestimmen

Hesse-Matrix 2 x 2 (bei 2 Variablen)

Die Funktion sei f(x, y) = x² + y³ (Siehe Beispiel zur partiellen Ableitung).

Nun werden partielle Ableitungen zweiter Ordnung gebildet:

f_xx (x, y) = 2 (die Funktion wird 2 mal nach x abgeleitet; die 1. Ableitung nach x ergibt 2x; die 2. Ableitung nach x ergibt dann 2).

f_xy (x, y) = 0 (die Funktion wird zunächst nach x abgeleitet (Ergebnis: 2x) und anschließend nach y: 2x nach y abgeleitet ist 0).

f_yx (x, y) = 0 (die Funktion wird zunächst nach y abgeleitet (Ergebnis: 3y²) und anschließend nach x: 3y² nach x abgeleitet ist 0).

f_yy (x, y) = 6y (die Funktion wird 2 mal nach y abgeleitet; die 1. Ableitung nach y ergibt 3y²; die 2. Ableitung nach y ergibt dann 6y).

Die Hesse-Matrix ist:

$$H = \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$

$$H = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 6y \end{pmatrix}$$

Oft bildet man zunächst die 1. Ableitungen (Gradient) und nutzt diese dann als Basis, um die 2. Ableitungen für die Hesse-Matrix zu bilden.

Hesse-Matrix 3 x 3 (bei 3 Variablen)

Bei einer Funktion mit 3 Variablen x, y und z wäre die Hesse-Matrix:

$$H = \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \end{pmatrix}$$

Die Funktion sei f(x, y, z) = x² + y³ + z²

Dann ist die Hesse-Matrix:

$$H = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 6y & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Hier nochmals beispielhaft, wie der Eintrag 2 in der rechten Ecke unten in der Matrix zustande kommt:

f_zz (x, y, z) = 2 (die Funktion wird 2 mal nach z abgeleitet; die 1. Ableitung nach z ergibt 2z; die 2. Ableitung nach z ergibt dann 2).