Hesse-Matrix

Hesse-Matrix Definition

Die Hesse-Matrix enthält die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion mit mehreren Variablen.

Beispiel

Die Funktion sei f(x, y) = x2 + y3 (vgl. Beispiel zur partiellen Ableitung).

Nun werden partielle Ableitungen zweiter Ordnung gebildet:

fxx (x, y) = 2 (die Funktion wird 2 mal nach x abgeleitet).

fxy (x, y) = 0 (die Funktion wird zunächst nach x abgeleitet (Ergebnis: 2x) und anschließend nach y: 2x nach y abgeleitet ist 0).

fyx (x, y) = 0 (die Funktion wird zunächst nach y abgeleitet (Ergebnis: 3y2) und anschließend nach x: 3y2 nach x abgeleitet ist 0).

fyy (x, y) = 6y (die Funktion wird 2 mal nach y abgeleitet).

Die Hesse-Matrix ist:

$$H = \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$

$$H = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 6y \end{pmatrix}$$

Bei einer Funktion mit 3 Variablen x, y und z wäre die Hesse-Matrix:

$$H = \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \end{pmatrix}$$

Oft bildet man zunächst die 1. Ableitungen (Gradient) und nutzt diese dann als Basis, um die 2. Ableitungen für die Hesse-Matrix zu bilden.

Alternative Begriffe: Hessematrix, Hessesche Matrix.