Definition
Der Grenzwert einer Summe von zwei Termen entspricht der Summe der Grenzwerte der beiden Terme (dabei wird vorausgesetzt, dass diese Grenzwerte existieren).
Für Differenzen statt Summen gilt das analog: der Grenzwert einer Differenz von zwei Termen entspricht der Differenz der Grenzwerte der beiden Terme.
Beispiel
Beispiel: Grenzwert einer Summe berechnen
Es soll folgender Grenzwert berechnet werden:
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 +2 \cdot x$$
Die Summe, für die der Grenzwert berechnet werden soll, ist also $x^2 +2 \cdot x$.
Der Grenzwert für den ersten quadratischen Term x2 für x gegen 3 ist 9 (einfach x durch den Wert, gegen den x laufen soll, ersetzen):
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$$
Der Grenzwert für den zweiten Term 2x für x gegen 3 ist 6.
$$\lim\limits_{x \to 3} 2 \cdot x = 6$$
Der Grenzwert für die Summe ist deshalb 9 + 6 = 15.
Fazit
- limx → a [f(x) + g(x)] = limx → a f(x) + limx → a g(x) – Grenzwert der Summe = Summe der Grenzwerte
- Die Summenregel gilt analog auch für Differenzen: lim (f − g) = lim f − lim g
- Voraussetzung: beide Grenzwerte müssen existieren und endlich sein
- Beispiel: limx → 3 (x2 + 2x) = 9 + 6 = 15
Selbsttest: Grenzwert einer Summe
Aufgabe: Grenzwert einer Summe
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mithilfe der Summenregel:
limx → 4 (3x − x2)
Summenregel anwenden: lim (3x − x2) = lim 3x − lim x2
Einsetzen (x = 4):
limx → 4 3x = 3 · 4 = 12
limx → 4 x2 = 42 = 16
Ergebnis: 12 − 16 = −4