Definition
Der Grenzwert eines Produkts von zwei Faktoren entspricht dem Produkt der Grenzwerte der beiden Faktoren (dabei wird vorausgesetzt, dass diese Grenzwerte existieren).
Beispiel
Beispiel: Grenzwert eines Produkts berechnen
Es soll folgender Grenzwert berechnet werden:
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 \cdot (x - 1)$$
Das Produkt, für den der Grenzwert berechnet werden soll, ist also $x^2 \cdot (x - 1)$.
Der Grenzwert für den ersten Faktor des Produkts x2 für x gegen 3 ist 9 (einfach x durch den Wert, gegen den x laufen soll, ersetzen).
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$$
Der Grenzwert für den zweiten Faktor (x - 1) für x gegen 3 ist 2.
$$\lim\limits_{x \to 3} x - 1 = 2$$
Der Grenzwert für das Produkt ist deshalb 9 × 2 = 18.
Fazit
- limx → a [f(x) · g(x)] = limx → a f(x) · limx → a g(x) – Grenzwert des Produkts = Produkt der Grenzwerte
- Voraussetzung: beide Grenzwerte müssen existieren
- Sonderfall Konstante: lim [c · f(x)] = c · lim f(x)
- Ausnahme: Strebt ein Faktor gegen 0 und der andere gegen ∞, entsteht der unbestimmte Ausdruck 0 · ∞ – die Produktregel ist dann nicht direkt anwendbar, zuerst umformen
Selbsttest: Grenzwert eines Produkts
Aufgabe: Grenzwert eines Produkts
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mithilfe der Produktregel:
limx → 3 [(x − 2) · (x + 1)]
Produktregel anwenden: lim [(x − 2) · (x + 1)] = lim (x − 2) · lim (x + 1)
Einsetzen (x = 3):
limx → 3 (x − 2) = 3 − 2 = 1
limx → 3 (x + 1) = 3 + 1 = 4
Ergebnis: 1 · 4 = 4