Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Definition

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x) \, dx$ kann also berechnet werden, indem man (irgend)eine Stammfunktion F von f(x) verwendet: Funktionswert der Stammfunktion F für die obere Integrationsgrenze b berechnen, Funktionswert der Stammfunktion F für die untere Integrationsgrenze a berechnen und Differenz bilden.

Beispiel

Es soll das bestimmte Integral $\int_1^2 2x \, dx$ berechnet werden (die Funktion verdoppelt einfach x im Intervall 1 bis 2).

Eine Stammfunktion (eine Funktion, die abgeleitet 2x ergibt) ist x².

$$\int_1^2 2x \, dx = F(2) - F(1) = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$$

Das bestimmte Integral ist 3 (das entspricht der Fläche unter dem Funktionsgraphen f(x) = 2x im Intervall 1 bis 2).