Definition
Zwischen beispielsweise 2 Aussagen A und B besteht eine Implikation wenn gilt: aus A folgt B (man sagt auch: A impliziert B).
Man schreibt $A \rightarrow B$ oder $A \Rightarrow B$.
Beispiel
Beispiel: Implikation
Die Aussage A lautet: "y und z sind positive Zahlen."
Die Aussage B lautet: "y + z ist eine positive Zahl."
Es liegt eine Implikation $A \Rightarrow B$ vor: sind y und z positive Zahlen (zum Beispiel y = 2 und z = 5), folgt, dass y + z (2 + 5 = 7) eine positive Zahl ist.
Umgekehrte Implikation?
Die Implikation gilt (zwingend) nur in die eine Richtung:
Aus Aussage B ("y + z ist eine positive Zahl.") folgt nicht A ("y und z sind positive Zahlen."); zum Beispiel könnte y = 7 sein und z = -5, dann ist die Summe y + z = 7 + (-5) = 2 eine positive Zahl, y und z sind es aber nicht (nur y).
Die umgekehrte Implikation kann aber gelten (das wäre zu prüfen).
Wahrheitstafel
Die folgende Wahrheitstafel zeigt alle vier möglichen Belegungen von A und B sowie den Wahrheitswert der Implikation $A \to B$:
| A | B | $A \to B$ |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
Fazit
- Eine Implikation ($A \to B$) bedeutet „wenn A, dann B"; sie ist falsch nur dann, wenn A wahr und B falsch ist
- In allen anderen Fällen – A falsch oder B wahr – ist $A \to B$ wahr
- Die Umkehrung ($B \to A$) gilt nicht automatisch; sie muss gesondert geprüft werden
- Schreibweise: $A \to B$ oder $A \Rightarrow B$
Selbsttest: Implikation
Aufgabe: Implikation prüfen
Sei A = „x ist durch 4 teilbar" und B = „x ist durch 2 teilbar". Zeigen Sie, dass $A \to B$ gilt, und prüfen Sie anhand eines Gegenbeispiels, ob auch $B \to A$ gilt.
$A \to B$: Ist x durch 4 teilbar, gilt x = 4k (k ∈ ℤ). Damit ist x = 2 · (2k), also durch 2 teilbar. → $A \to B$ gilt. ✓
Gegenbeispiel für $B \to A$: x = 6: 6 ÷ 2 = 3 (ganzzahlig, B wahr), aber 6 ÷ 4 = 1,5 (nicht ganzzahlig, A falsch).
Da B wahr und A falsch, ist $B \to A$ für x = 6 falsch. → $B \to A$ gilt nicht allgemein.