Integration durch Substitution

Integration durch Substitution Definition

Die Integration durch Substitution dient dazu, einen Term, der zu integrieren ist, zu vereinfachen.

Die Vorgehensweise soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden (das allerdings auch anders – ohne Integration durch Substitution – gelöst werden könnte).

Alternative Begriffe: Substitutionsregel, umgekehrte Kettenregel.

Beispiel

Beispiel: Integration durch Substitution

Das Integral $\int_0^1 (2x + 1)^2 dx$ soll in den Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden.

Nun kann man (2x + 1) durch u ersetzen (Substitution). Da (2x + 1) ein linearer Term ist (grafisch eine Gerade), sagt man auch lineare Substitution.

u ist also (2x + 1) und die 1. Ableitung u' ist 2.

Die erste Ableitung u' kann man auch als du/dx schreiben, somit ist du/dx = 2 bzw. dx = 1/2 du.

Zum einen wird jetzt das Integral neu geschrieben:

$$\int (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int u^2 du $$

Zum anderen müssen die Integralgrenzen neu berechnet werden, indem die Funktionswerte für u für die alten Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden:

u (0) = 2 × 0 + 1 = 1.

u (1) = 2 × 1 + 1 = 3.

Das zu berechnende Integral ist somit:

$$\int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int_1^3 u^2 du$$

Eine Stammfunktion (die Funktion, die abgeleitet u2 ergibt) dazu ist 1/3 u3 + C (dabei ist C die Konstante, die beim Ableiten wegfällt).

$$\frac{1}{2} \cdot \int_1^3 u^2 du =\frac{1}{2} \cdot \left[\frac{1}{3} u^3 + C \right]_1^3$$

$$= \frac{1}{2} \cdot [(\frac{1}{3} \cdot 3^3 + C) - (\frac{1}{3} \cdot 1^3 + C)]$$

$$= \frac{1}{2} \cdot (\frac{27}{3} + C - \frac{1}{3} - C)$$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{3} = \frac{13}{3} (ca. 4,33)$$.