Definition
Die Integration durch Substitution dient dazu, einen Term, der zu integrieren ist, zu vereinfachen.
Die Vorgehensweise soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden (das allerdings auch anders – ohne Integration durch Substitution – gelöst werden könnte).
Alternative Begriffe: Substitutionsregel, umgekehrte Kettenregel.
Beispiel
Beispiel: Integration durch Substitution
Das Integral $\int_0^1 (2x + 1)^2 dx$ soll in den Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden.
Nun kann man (2x + 1) durch u ersetzen (Substitution). Da (2x + 1) ein linearer Term ist (grafisch eine Gerade), sagt man auch lineare Substitution.
u ist also (2x + 1) und die 1. Ableitung u' ist 2.
Die erste Ableitung u' kann man auch als du/dx schreiben, somit ist du/dx = 2 bzw. dx = 1/2 du.
Zum einen wird jetzt das Integral neu geschrieben:
$$\int (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int u^2 du $$
Zum anderen müssen die Integralgrenzen neu berechnet werden, indem die Funktionswerte für u für die alten Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden:
u (0) = 2 × 0 + 1 = 1.
u (1) = 2 × 1 + 1 = 3.
Das zu berechnende Integral ist somit:
$$\int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int_1^3 u^2 du$$
Eine Stammfunktion (die Funktion, die abgeleitet u2 ergibt) dazu ist 1/3 u3 + C (dabei ist C die Konstante, die beim Ableiten wegfällt).
$$\frac{1}{2} \cdot \int_1^3 u^2 du =\frac{1}{2} \cdot \left[\frac{1}{3} u^3 + C \right]_1^3$$
$$= \frac{1}{2} \cdot [(\frac{1}{3} \cdot 3^3 + C) - (\frac{1}{3} \cdot 1^3 + C)]$$
$$= \frac{1}{2} \cdot (\frac{27}{3} + C - \frac{1}{3} - C)$$
$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{3} = \frac{13}{3} (ca. 4,33)$$.
Fazit
- Substitution vereinfacht zusammengesetzte Integranden: u = g(x) ersetzt einen Teilausdruck.
- Ableitungsregel: dx = du / g′(x); bei bestimmten Integralen Grenzen umrechnen: u(a) und u(b).
- Linearer Sonderfall u = ax + b: Faktor 1/a zieht vor das Integral.
- Nach dem Integrieren ggf. Rücksubstitution in x durchführen (bei unbestimmten Integralen).
Selbsttest: Integration durch Substitution
Aufgabe: Integration durch Substitution
Berechnen Sie ∫01 (2x + 1)3 dx mithilfe der Substitution u = 2x + 1.
Substitution: u = 2x + 1 ⇒ u′ = 2 ⇒ dx = du/2
Neue Grenzen: u(0) = 1; u(1) = 3
Integral: ∫13 u3 · (1/2) du = (1/2) · [u4/4]13
Einsetzen: (1/8) · (81 − 1) = 80/8
Ergebnis: 10