Ableitung
Ableitung Definition
Bei vielen betriebs- und volkswirtschaftlichen Modellen mit ihren Funktionen ist die 1. Ableitung einer Funktion (und manchmal auch die 2. Ableitung und 3. Ableitung) zu berechnen.
Die 1. Ableitung ist die Steigung einer Funktion bzw. eines Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt.
Das ist näherungsweise die Veränderung der Funktion bei marginaler Erhöhung.
Beispiel
Angenommen, eine Kostenfunktion ist K(x) = x2. Bei einer Produktionsmenge von 10 Stück sind die Kosten dann K(10) = 102 = 100.
Bei einer marginal erhöhten Produktionsmenge von 11 Stück sind die Kosten K(11) = 112 = 121.
Die Kosten haben sich bei einer marginalen Erhöhung der Menge um 1 Einheit also von 100 auf 121 um 21 erhöht. Leitet man die Kostenfunktion mit der Formel (unten) für Potenzfunktionen ab, ist die 1. Ableitung K'(x) = 2x2 - 1 = 2x1 = 2x und für x = 10 dann K'(10) = 2 × 10 = 20 (das ist die Steigung der Kostenfunktion an der Stelle 10 und entspricht näherungsweise der tatsächlichen oben berechneten Änderung von 21).
Mit "marginal" meint man eigentlich sehr sehr kleine ("infinitesimale") Änderungen (x um 0,01 verändern wäre schon groß). Erhöht man z.B. x von 10 auf 10,01, ist der Funktionswert 10,012 = 100,2001. Und das gibt die Ableitung wieder: f'(10) = 2 × 10 = 20. D.h. eine Änderung von x um 0,01 an der Stelle x = 10 bewirkt – näherungsweise – eine 20-fache Erhöhung (20 × 0,01 = 0,2) beim Funktionswert.
Erhöht man x von 20 auf 20,01, ist der Funktionswert 20,012 = 400,4001. Auch das gibt die Ableitung wieder: f'(20) = 2 × 20 = 40. D.h. eine Änderung von x um 0,01 an der Stelle x = 20 bewirkt näherungsweise eine 40-fache Erhöhung (40 × 0,01 = 0,4) beim Funktionswert.
Während die Ableitung i.d.R. die Änderungsrate an einer bestimmten Stelle (z.B. x = 10 oder 20) meint, nimmt die Ableitungsfunktion beliebige x als Argument entgegen ("Gib mir ein x und ich sage Dir, wie sich der Funktionswert an dieser Stelle bei einer marginalen Veränderung von x ändert.")
Schreibt man eine beispielhafte Funktion als
- f(x) = x2, schreibt man die dazugehörige 1. Ableitung i.d.R. mit einem hochgestellten Strich nach dem f, also f '(x) = 2x; die 2. Ableitung dann mit 2 Strichen: f ''(x) = 2; usw.;
- y = x2, schreibt man die dazugehörige Ableitung i.d.R. mit $\frac{dy}{dx}$, also $\frac{dy}{dx}= 2x$; damit soll ausgedrückt werden, um wieviele sich der Funktionswert y ändert (d für Delta), wenn sich x ein klein wenig ändert.
Alternative Begriffe: Ableiten, Ableitungsfunktion, Differential, Differentiation, differenzieren, Funktionen differenzieren.
Ableitungsregeln
Konstante ableiten
Die 1. Ableitung einer alleinstehenden Konstanten ist 0 (sog. Konstantenregel):
$$f(x) = a$$
$$f'(x) = 0$$
Der Graph einer konstanten Funktion ist eine waagrechte Gerade; diese hat keine Steigung (an keiner Stelle) und das gibt die 1. Ableitung mit einem Wert von 0 für alle x an.
Variable ableiten
Die 1. Ableitung einer Variablen ist 1:
$$f(x) = x$$
$$f'(x) = 1$$
Variable mit Faktor ableiten
Die 1. Ableitung einer Variablen mit einem Faktor:
$$f(x) = a \cdot x$$
$$f'(x) = a$$
Potenzfunktion ableiten
Die 1. Ableitung einer Potenzfunktion ist:
$$f(x) = x^n$$
$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$
So ist z.B. die 1. Ableitung von x2: 2x.
Wurzel ableiten
Die 1. Ableitung einer Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt x$ ist:
$$f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt(x)}$$
Logarithmus ableiten
Die 1. Ableitung eines natürlichen Logarithmus ist:
$$f(x) = ln(x)$$
$$f'(x) = \frac{1}{x}$$
Natürliche Exponentialfunktion / e-Funktion ableiten
Die 1. Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) ist wiederum die e-Funktion:
$$f(x) = e^x$$
$$f'(x) = e^x$$
Exponentialfunktion ableiten
Die 1. Ableitung der Exponentialfunktion (mit einer anderen Basis als e) ist:
$$f(x) = a^x$$
$$f'(x) = ln(a) \cdot a^x$$
Sinus ableiten
Die 1. Ableitung des Sinus ist der Kosinus:
$$f(x) = sin (x)$$
$$f'(x) = cos (x)$$
Kosinus ableiten
Die 1. Ableitung des Kosinus ist Sinus mit einem Minus davor:
$$f(x) = cos (x)$$
$$f'(x) = -sin (x)$$
Tangens ableiten
Die 1. Ableitung des Tangens ist:
$$f(x) = tan (x)$$
$$f'(x) = \frac{1}{cos^2 (x)}$$