Ableitung

Ableitung Definition

Bei vielen betriebs- und volkswirtschaftlichen Modellen mit ihren Funktionen ist die 1. Ableitung einer Funktion (und manchmal auch die 2. Ableitung) zu berechnen.

Die 1. Ableitung ist die Steigung einer Funktion bzw. eines Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt.

Das ist näherungsweise die Veränderung der Funktion bei marginaler Erhöhung.

Beispiel

Angenommen, eine Kostenfunktion ist K(x) = x2. Bei einer Produktionsmenge von 10 Stück sind die Kosten dann K(10) = 102 = 100.

Bei einer marginal erhöhten Produktionsmenge von 11 Stück sind die Kosten K(11) = 112 = 121.

Die Kosten haben sich bei einer marginalen Erhöhung der Menge um 1 Einheit also von 100 auf 121 um 21 erhöht. Leitet man die Kostenfunktion mit der Formel (unten) für Potenzfunktionen ab, ist die 1. Ableitung K'(x) = 2x2 - 1 = 2x1 = 2x und für x = 10 dann K'(10) = 2 × 10 = 20 (das ist die Steigung der Kostenfunktion an der Stelle 10 und entspricht näherungsweise der tatsächlichen oben berechneten Änderung von 21).

Schreibt man eine beispielhafte Funktion als

  • f(x) = x2, schreibt man die dazugehörige 1. Ableitung i.d.R. mit einem hochgestellten Strich nach dem f, also f '(x) = 2x; die 2. Ableitung dann mit 2 Strichen: f ''(x) = 2; usw.;
  • y = x2, schreibt man die dazugehörige Ableitung i.d.R. mit $\frac{dy}{dx}$, also $\frac{dy}{dx}= 2x$; damit soll ausgedrückt werden, um wieviele sich der Funktionswert y ändert (d für Delta), wenn sich x ein klein wenig ändert.

Alternative Begriffe: Ableiten, Ableitungsfunktion, differenzieren, Funktionen differenzieren.

Ableitungsregeln

Konstante ableiten

Die 1. Ableitung einer alleinstehenden Konstanten ist 0:

$$f(x) = a$$

$$f'(x) = 0$$

Variable ableiten

Die 1. Ableitung einer Variablen ist 1:

$$f(x) = x$$

$$f'(x) = 1$$

Variable mit Faktor ableiten

Die 1. Ableitung einer Variablen mit einem Faktor:

$$f(x) = a \cdot x$$

$$f'(x) = a$$

Potenzfunktion ableiten

Die 1. Ableitung einer Potenzfunktion ist:

$$f(x) = x^n$$

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

So ist z.B. die 1. Ableitung von x2: 2x.

Wurzel ableiten

Die 1. Ableitung einer Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt x$ ist:

$$f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt(x)}$$

Logarithmus ableiten

Die 1. Ableitung eines natürlichen Logarithmus ist:

$$f(x) = ln(x)$$

$$f'(x) = \frac{1}{x}$$

Natürliche Exponentialfunktion / e-Funktion ableiten

Die 1. Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) ist wiederum die e-Funktion:

$$f(x) = e^x$$

$$f'(x) = e^x$$

Exponentialfunktion ableiten

Die 1. Ableitung der Exponentialfunktion (mit einer anderen Basis als e) ist:

$$f(x) = a^x$$

$$f'(x) = ln(a) \cdot a^x$$

Sinus ableiten

Die 1. Ableitung des Sinus ist der Kosinus:

$$f(x) = sin (x)$$

$$f'(x) = cos (x)$$

Kosinus ableiten

Die 1. Ableitung des Kosinus ist Sinus mit einem Minus davor:

$$f(x) = cos (x)$$

$$f'(x) = -sin (x)$$

Tangens ableiten

Die 1. Ableitung des Tangens ist:

$$f(x) = tan (x)$$

$$f'(x) = \frac{1}{cos^2 (x)}$$