Kubische Funktion

Kubische Funktion Definition

Eine kubische Funktion enthält ein x³ mit 3 als höchster Potenz von x; die allgemeine Form ist:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

Dabei darf a nicht 0 sein (sonst würde der kubische Term verschwinden); b, c und d hingegen können 0 sein, dann fallen diese Terme weg.

Beispiel

Eine kubische Funktion sei $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$

Auf die allgemeine Form bezogen ist hier a = 1, b = -3, c = 2 und d= 0.

Um die Nullstellen einer kubischen Funktion zu bestimmen, wird diese gleich 0 gesetzt:

$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x = 0$$

Kubische Gleichungen werden i.d.R. über einen Umweg gelöst: sie werden in eine quadratische Gleichung überführt und diese kann dann mit den bekannten Lösungswegen (abc-Formel, p-q-Formel, Quadratische Ergänzung) gelöst werden.

Die Überführung in eine quadratische Gleichung kann mit der Polynomdivision erfolgen (vgl. das dortige Beispiel für die obige Funktion) oder mit dem Horner-Schema.

Dazu muss jedoch zunächst eine Nullstelle bekannt sein – oder geraten werden; bei der obigen Funktion sieht man leicht, dass bei x = 0 eine Nullstelle liegt und damit lässt sich die Polynomfunktion beginnen (weitere Nullstellen sind dann 1 und 2).

Bei der Beispielfunktion geht es noch einfacher, indem man x einfach ausklammert: $f(x) = x \cdot (x^2 - 3x + 2)$; dann liegt die quadratische Gleichung im zweiten Term $x^2 - 3x + 2$ bereits vor.

Alternative Begriffe: Funktion 3. Grades, Funktion dritten Grades.