Lineare Approximation

Lineare Approximation Definition

Approximation in der Mathematik bedeutet: eine Funktion wird durch eine andere (sog. Näherungsfunktion) angenähert (z.B. eine "schwierige" durch eine einfache Funktion).

Die lineare Approximation (es gibt auch andere wie die quadratische Approximation) anhand eines Beispiels:

Beispiel

Die Funktion sei f(x) = x2.

Die Funktion soll bei x0 = 2 approximiert werden und es soll damit anschließend 1,92 näherungsweise berechnet werden (das exakte Ergebnis ist 1,92 = 3,61).

Für die Linearisierung (die Überführung der quadratischen Funktion f(x) = x2 in eine lineare Funktion) wird folgende Formel verwendet, die daraus entstehende Funktion soll mit L bezeichnet werden:

L(x) = f(x0) + f'(x0) (x - x0)

Die einzelnen Teile der Formel für x0 = 2:

Zunächst der Funktionswert an der Stelle x0 = 2:

f(x0) = f(2) = 22 = 4.

Die 1. Ableitung der Funktion:

f'(x) = 2x.

Die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle x0 = 2:

f'(2) = 2 × 2 = 4.

Daraus folgt:

L(x) = 4 + 4 (x - 2) = 4 + 4x - 8 = -4 + 4x.

Das ist eine lineare Funktion. Wenn man zunächst mal den x0-Wert = 2 selbst einsetzt, kann man überprüfen, ob man richtig gerechnet hat:

L(2) = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4 (und das entspricht genau 22).

Nun für den gesuchten Wert von 1,9:

L(1,9) = -4 + 4 × 1,9 = 3,6.

Das mit der linearen Approximation angenäherte Ergebnis von 3,6 ist nahe am tatsächlichen Wert von 3,61.

Diese Approximation funktioniert nur in einem kleinen Bereich um den x0-Wert herum (1,9 ist nicht weit weg von 2).

Würde man das ganze z.B. für 4,5 machen, ergäbe sich:

L(4,5) = -4 + 4 × 4,5 = -4 + 18 = 14. Und das ist von dem echten Wert 4,52 = 20,25 weit entfernt.

Rekapitulation: Wir haben eine quadratische (d.h. nicht-lineare) Funktion in einem Punkt durch eine einfache lineare Funktion angenähert, was in einem kleinen Bereich um den Punkt herum gut funktioniert. Und das geht auch für komplexere Funktionen.