Polstelle

Polstelle Definition

Eine Polstelle einer Funktion ist eine Definitionslücke (Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist), in deren Nähe die y-Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich laufen.

Der Funktionsgraph kann nicht durchgehend gezeichnet werden, sondern hat eine Unterbrechung bei der Definitionslücke.

Beispiel

Die Funktion sei f(x) = (x - 2) / (x² - 4).

Man darf nicht durch 0 teilen, deshalb darf der Nenner nicht 0 sein. Für x = - 2 wäre der Nenner jedoch 0 (-2² - 4 = 4 - 4 = 0) und für x = 2 ebenso (2² - 4 = 4 - 4 = 0). Es gibt also 2 Definitionslücken.

Als nächstes prüft man, ob die Nullstellen des Nenners auch welche des Zählers sind.

Für x = -2 ist das nicht der Fall: -2 - 2 = - 4. Hier liegt eine Polstelle vor.

Für x = 2 ist das der Fall: 2 - 2 = 0. Deshalb liegt hier eine sog. hebbare Definitionslücke vor. Die Nullstelle lässt sich durch Kürzen entfernen, dadurch wird die Lücke geschlossen:

f(x) = (x - 2) / (x² - 4) kann man auch als f(x) = (x - 2) / [(x - 2) × (x + 2)] schreiben und dann gekürzt als 1 / (x +2). Für x = 2 ist die Definitionslücke jetzt geschlossen.

Mit einer Beispielzahl (z.B. x = 5) gezeigt:

f(5) = (5 - 2) / (5² - 4) = 3 / 21 = 1/7.

f(5) = 1 / (5 + 2) = 1/7.

In der Grafik sieht man das Verhalten der Funktion bei der Polstelle: