Definition
Bei Logarithmusgleichungen kommt es darauf an, wonach gesucht wird bzw. was die Unbekannte ist.
Alternative Begriffe: Logarithmus-Gleichung.
Beispiele
Beispiel: Numerus gesucht
Bei einem loga b wird der Numerus b gesucht (nicht die Basis a), z. B.:
$$log_{10} b = 2$$
Mit der Definition des Logarithmus ($a^x = b \iff x = log_a b$) ergibt sich (mit $x = log_{10} b = 2$ und $a = 10$):
$$b = 10^2 = 100$$
Kontrolle:
$log_{10} 100 = 2$ (Taschenrechner: 100 eingeben und LOG-Taste drücken).
Beispiel: Basis gesucht
Bei einem loga b wird die Basis a gesucht, z. B.:
$$log_a 100 = 2$$
Mit der Definition des Logarithmus ($a^x = b \iff x = log_a b$) ergibt sich wiederum (mit $x = log_a 100 = 2$ und $b = 100$):
$$a^2 = 100$$
$$a = \sqrt{100} = 10$$
Kontrolle:
$log_{10} 100 = 2$
Fazit
- Grundformel: ax = b ⇔ x = loga(b)
- Numerus b gesucht: loga(b) = x → b = ax berechnen
- Basis a gesucht: loga(b) = x → a = b1/x bzw. a = x√b
- In Logarithmusgleichungen kann Numerus, Basis oder der Logarithmuswert die gesuchte Größe sein
Selbsttest: Logarithmusgleichungen
Aufgabe: Logarithmusgleichungen
Bestimmen Sie die Basis a in der Logarithmusgleichung loga(64) = 3.
Formel: ax = b ⇔ a = b1/x
Einsetzen: a3 = 64
a = 3√64 = 3√(43) = 4
Kontrolle: log4(64) = log4(43) = 3 ✓