Lineare Gleichungen

Lineare Gleichung Definition

Eine lineare Gleichung hat die allgemeine Form: $m \cdot x + b = 0$

Die Variable x wird also mit einem Faktor / Koeffizienten multipliziert (der nicht 0 sein sollte, sonst fällt der x-Term weg) und eine Konstante b wird hinzuaddiert (oder subtrahiert: b kann auch eine negative Zahl wie -24 sein, b kann auch 0 sein).

Die Variable x kommt nur in der ersten Potenz vor, also nur als x (und nicht als z. B. x² – das wäre dann eine quadratische Gleichung).

Lineare Gleichungen sind einfach mit wenigen Umformungen zu lösen:

Beispiel: Lineare Gleichung mit einer Variablen

Eine lineare Gleichung lautet:

$3 \cdot x - 24 = 0$

Gleichung nach x auflösen:

$3 \cdot x - 24 = 0 \qquad \vert +24$

$3 \cdot x = 24 \qquad \vert \div 3$

$x = 8$

Die einzige Lösung ist x = 8.

$3 \cdot 8 - 24 = 0$

Allgemein ist die Lösung:

$$x = \frac{-b}{m}$$

$$x = \frac{-(-24)}{3} = 8$$

Lineare Gleichungen können auch mehrere Variablen haben, die allgemeine Form ist dann: $m \cdot x + n \cdot y + b = 0$

Auch hier werden die Variablen mit Koeffizienten multipliziert und die Terme werden dann aufaddiert. Die Variablen (hier x und y) dürfen aber z. B. nicht multipliziert werden (also kein $x \cdot y$ in der Gleichung), sonst ist es keine lineare Gleichung.

Damit können lineare Gleichungssysteme gebildet werden.