Definition
Eine quadratische Gleichung ist zum Beispiel 2x2 − 4x = 0 (enthält also ein x2).
Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, 0 und 2:
2 × 02 − 4 × 0 = 0
2 × 22 − 4 × 2 = 2 × 4 − 8 = 8 − 8 = 0
Die allgemeine Form quadratischer Gleichungen ist:
ax2 + bx + c = 0.
Dabei darf a nicht 0 sein, da sonst das x2 letztlich wegfällt.
In dem obigen Beispiel war a = 2, b = −4 und c = 0.
Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lassen sich im Grundsatz mit mehreren Methoden lösen (wobei nicht immer alle gleich gut / schnell funktionieren):
| Methode | Kurzbeschreibung |
|---|---|
| Faktorisieren | Summen oder Differenzen werden in Produkte umgewandelt, um Nullstellen leichter zu erkennen. |
| pq-Formel | Setzt voraus, dass das x2 ohne Multiplikator steht (sonst vorher Umformung notwendig). |
| Satz von Vieta (eingeschränkt) | Damit kann man unter Umständen quadratische Gleichungen durch Ausprobieren lösen. |
| abc-Formel | Funktioniert im Gegensatz zur pq-Formel ohne vorherige Umformung. |
| Quadratische Ergänzung | Ergänzt die Gleichung so, dass binomische Formeln für die Lösung angewendet werden können. |
So nicht!:
Quadratische Gleichungen kann man nicht dadurch lösen, dass man beide Seiten der Gleichung durch x teilt.
Würde man das im obigen Beispiel machen, hätte man 2x − 4 = 0 und die Lösung wäre nur x = 2 (die zweite Lösung x = 0 wäre weggefallen).
Rein quadratische und gemischt quadratische Gleichungen
Eine sogenannte rein quadratische Gleichung liegt vor, wenn neben dem x2 kein weiteres x in der Gleichung vorkommt, sondern nur noch Zahlen. Im obigen Beispiel gibt es noch ein − 4x, deshalb ist es eine gemischt-quadratische Gleichung.
Reinquadratische Gleichungen lassen sich einfach nach x2 auflösen, zum Beispiel die Gleichung 2x2 − 18 = 0; Dann ist $x^2 = 9$ und $x = \pm 3$.
Fazit
- Quadratische Gleichungen haben die Form ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) und bis zu zwei Lösungen
- Rein quadratisch: kein bx-Term – direkt nach x2 auflösen, dann Wurzel ziehen
- Gemischt-quadratisch: abc-Formel, pq-Formel, Faktorisierung oder Quadratische Ergänzung wählen
- Nicht durch x dividieren – eine mögliche Lösung (x = 0) würde sonst verloren gehen
Selbsttest: Quadratische Gleichungen
Aufgabe: Quadratische Gleichungen
Lösen Sie die rein quadratische Gleichung 5x2 − 20 = 0.
Schritt 1: 5x2 − 20 = 0 | +20
5x2 = 20
Schritt 2: 5x2 = 20 | /5
x2 = 4
Schritt 3: Wurzel ziehen
x = ±√4 = ±2
Kontrolle: 5 × 22 − 20 = 20 − 20 = 0 ✓ | 5 × (−2)2 − 20 = 0 ✓