Marshall'sche Nachfrage

Beispiel: Marshallsche Nachfrage berechnen

Gegeben sei folgende Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x₁, x₂) = x₁^α × x₂^β = x₁^0,4 × x₂^0,6.

Dabei steht x₁ für die Menge von Gut 1 und x₂ für die Menge von Gut 2.

Das Einkommen m sei 20, der Preis p₁ von Gut 1 sei 2 €, der Preis p₂ von Gut 2 sei 4 €.

Nun können die Nachfragemengen für Gut 1 und Gut 2 bestimmt werden, die bei dem Einkommen und den Preisen den höchsten Nutzen bringen (Nutzenmaximierung). Die Nachfragemenge für Gut 1 wird als x₁ (p₁, p₂, m) dargestellt, analog für Gut 2.

Für die obige Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gilt in der allgemeinen Form:

• für Gut 1: x₁ (p₁, p₂, m) = (α × m)/p₁ (Marshallsche Nachfragefunktion für Gut 1)
• für Gut 2: x₂ (p₁, p₂, m) = (β × m)/p₂ (Marshallsche Nachfragefunktion für Gut 2)

Und für die Beispieldaten:

• x₁ (2, 4, 20) = (0,4 × 20) / 2 = 8/2 = 4
• x₂ (2, 4, 20) = (0,6 × 20) / 4 = 12/4 = 3.

Es werden also ausgegeben: 4 × 2 € + 3 × 4 € = 8 € + 12 € = 20 €.

Für die obige Cobb-Douglas-Funktion wurden die Lösungen für die Marshall’schen Nachfragefunktionen nach Gut 1 und Gut 2 einfach so angegeben, da diese in ihrer allgemeinen Form bekannt sind (bereits oft berechnet wurden).

Bei anderen Funktionen müsste man die Maximierung der Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung der Budgetbeschränkung (das was gekauft wird, darf in Summe nicht mehr kosten als das Einkommen) mathematisch durchführen, zum Beispiel mit der Lagrange-Funktion.

Indirekte Nutzenfunktion

Die indirekte Nutzenfunktion gibt das bei gegebenen Preisen und gegebenem Budget maximal erreichbare Nutzenniveau eines Haushalts an (dadurch unterscheidet sie sich von der normalen Nutzenfunktion, die von Preisen und Budget unabhängig ist).

Die indirekte Nutzenfunktion wird zum Beispiel mit v(p₁, p₂, m) bezeichnet, um die Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget darzustellen. Sie ergibt sich, indem man die Marshallsche Nachfrage in die Nutzenfunktion einsetzt:

v(2, 4, 20) = u(4, 3) = 4^0,4 × 3^0,6 = 3,3659.

Nochmals umgangssprachlich zusammengefasst:

Wir haben modellhaft 2 Güter, die wir konsumieren können, und für die uns eine Nutzenfunktion sagt, was diese Güter uns für einen Nutzen bringen.

Und wir haben ein Einkommen, das wir maximal für diese Güter ausgegeben können.

Die Marshall’schen Nachfragefunktionen nach Gut 1 und Gut 2 geben dann an, wieviel wir von den Gütern jeweils konsumieren sollen, wenn 1) der Nutzen maximal sein soll und 2) das Einkommen nicht überschritten werden darf.

Mit der indirekten Nutzenfunktion kann dann noch dieser maximale Nutzen berechnet werden, der von den Preisen und dem Einkommen bzw. Budget abhängt.