Lagrange-Funktion
Lagrange-Funktion Definition
Mit der Lagrange-Funktion können Optimierungsprobleme gelöst werden. I. d. R. wird etwas maximiert (z. B. Gewinn, Nutzen) oder minimiert (z. B. Kosten) unter Beachtung einer oder mehrerer Nebenbedingungen.
Alternative Begriffe: Lagrange-Ansatz, Lagrange-Methode, Lagrange-Optimierung, Lagrange-Verfahren, Lagrangefunktion.
Beispiel
Beispiel: Maximierung mit Lagrange-Funktion
Das Haushaltsoptimum soll mit dem Lagrange-Ansatz gefunden werden.
Zur Erinnerung: Das Haushaltsoptimum beschreibt die Konsummengen von Gut 1 und Gut 2 (modellhaft werden nur 2 Güter betrachtet), die sich der Haushalt zu den gegebenen Preisen leisten kann (Budgetbeschränkung) und die den Nutzen des Haushalts optimieren.
Die Nutzenfunktion war U (x1, x2) = 2 × x1 × x2 (mit x1 für die Menge von Gut 1 und x2 für die Menge von Gut 2).
Die Budgetrestriktion war p1x1 + p2x2 = m, d. h.: 1 x1 + 2 x2 = 60 (x1 hat einen Preis von 1 €, x2 hat einen Preis von 2 € und das verfügbare Einkommen / Budget ist 60 €).
Ein Konsum von 20 Einheiten von Gut 1 und 20 Einheiten von Gut 2 würde z. B. einen Nutzen von 2 × 20 × 20 = 800 bringen und 20 × 1 € + 20 × 2 € = 20 € + 40 € = 60 € kosten.
Das ist eine Konsummöglichkeit – ist es aber das Optimum (mit dem größten Nutzen)?
Lagrange-Funktion aufstellen
Die Lagrange-Funktion mit λ als sog. Lagrange-Multiplikator lautet:
L = U (x1, x2) - λ (p1x1 + p2x2 - m)
L = 2 x1x2 - λ (x1 + 2 x2 - 60)
Lagrange-Funktion nach x1 ableiten und = 0 setzen
2 x2 - λ = 0
λ = 2 x2
Lagrange-Funktion nach x2 ableiten und = 0 setzen
2 x1 - 2 λ = 0
λ = x1
Die beiden λ gleichsetzen
x1 = 2 x2
Einsetzen von x1 in die Budgetgleichung
2 x2 + 2 x2 = 60
4 x2 = 60
x2 = 15
x1 ermitteln
x1 = 2 x2
x1 = 2 × 15 = 30
Das Haushaltsoptimum liegt also bei einem Konsum von 30 Einheiten von Gut 1 und 15 Einheiten von Gut 2.
Der Nutzen ist 2 × 30 × 15 = 900 (und damit höher als mit den Beispielzahlen oben, wo der Nutzen nur 800 war).
Dafür gibt der Haushalt sein gesamtes Budget aus: 30 × 1 € + 15 × 2 € = 30 € + 30 € = 60 €.