Matrizen potenzieren

Beispiel: Matrix quadrieren

Für die Matrix A soll die zweite Potenz berechnet bzw. die Matrix A soll quadriert werden.

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Dazu multipliziert man A mit sich selbst: $A^2 = A \cdot A$

$$A \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \\ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$$

Das geht analog für höhere Potenzen:

$$A^3 = A \cdot A \cdot A = A^2 \cdot A$$

$$A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}7 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 10 \cdot 4 \\ 15 \cdot 1 + 22 \cdot 3 & 15 \cdot 2 + 22 \cdot 4 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}37 & 54 \\ 81 & 118 \end{pmatrix}$$

Höhere Potenzen

Hat man höhere Potenzen wie etwa A⁴, kann man in Potenzen zerlegen:

$$A^4 = A^2 \cdot A^2$$

Für die obige Matrix A durchgeführt:

$$A^4 = \begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}7 \cdot 7 + 10 \cdot 15 & 7 \cdot 10 + 10 \cdot 22 \\ 15 \cdot 7 + 22 \cdot 15 & 15 \cdot 10 + 22 \cdot 22 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}199 & 290 \\ 435 & 634 \end{pmatrix}$$

Wenn man eine Potenz wie A⁸ hätte, würde man so weitermachen:

$$A^8 = A^4 \cdot A^4$$

Hätte man A⁵, könnte man so unterteilen:

$$A^5 = A^4 \cdot A$$

A⁰ ergibt die Einheitsmatrix

Potenziert man eine Matrix mit 0, ergibt das die Einheitsmatrix (so wie auch eine Zahl hoch 0, zum Beispiel 7⁰, 1 ergibt):

$$A^0 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$