Matrizenaddition

Beispiel: Matrizen addieren

Das Möbelunternehmen im Matrizen-Beispiel hatte im Dezember in München 2 Tische und 6 Stühle und in Hamburg 3 Tische und 12 Stühle verkauft; als Matrix A:

$$A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$

Angenommen, die Zahlen für den Vormonat November waren: in München 1 Tisch und 6 Stühle und in Hamburg 4 Tische und 8 Stühle; als Matrix B:

$$B = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$$

Die kumulierten Absätze für November und Dezember erhält man durch Addition der beiden Matrizen A und B; dazu werden jeweils die positionsgleichen Felder (links oben in A und links oben in B, also 2 und 1, und so weiter) aufaddiert:

$$A + B$$

$$= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}2 + 1 & 3 + 4 \\ 6 + 6 & 12 + 8 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}3 & 7 \\ 12 & 20 \end{pmatrix}$$

Es wurden also in München in Summe 3 Tische und 12 Stühle und in Hamburg 7 Tische und 20 Stühle verkauft.

Rechenregeln

Man sieht an dem Beispiel leicht, dass man statt A + B genauso gut B + A hätte rechnen können (die Matrizenaddition ist kommutativ):

A + B = B + A

Hat man mehr als 2 Matrizen, kann man die Klammern beliebig setzen, zum Beispiel:

(A + B) + C = A + (B + C)

Die Matrizenaddition ist also auch assoziativ.

Und wenn man eine Matrix mit der Nullmatrix addiert, erhält man als Ergebnis die Matrix:

A + 0_2,2 = A

Das tiefgestellte 2,2 bedeutet, dass es sich um eine Nullmatrix mit 2 Zeilen und 2 Spalten, also mit 4 Elementen, die alle 0 sind, handelt; damit ist sie zu der Matrix A im obigen Beispiel kompatibel:

$$= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$

Matrizen addiert man also wie einzelne Zahlen auch.