Matrizenmultiplikation
Definition
Zwei Matrizen A und B lassen sich nur multiplizieren, wenn A so viele Spalten wie B Zeilen hat.
Es können also zum Beispiel zwei 2 × 2 oder zwei 3 × 3 - Matrizen multipliziert werden oder auch eine 2 × 4 - Matrix (2 Zeilen, 4 Spalten) mit einer 4 × 2 - Matrix (4 Zeilen, 2 Spalten).
Dann werden die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix B "Feld für Feld" multipliziert.
Alternative Begriffe: Matrix-Multiplikation, Matrixmultiplikation, Matrixprodukt.
Beispiel (2x2-Matrix)
Ein Unternehmen stellt dreibeinige Hocker und vierbeinige Stühle her.
Jedes Bein benötigt 2 Holzeinheiten (Kubikdezimeter Holz) und eine Schraube zum Befestigen, jede Sitzfläche benötigt 5 Holzeinheiten und keine Schrauben; als Matrix A:
$$A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Ein Hocker hat 3 Beine und 1 Sitzfläche, ein Stuhl hat 4 Beine und 1 Sitzfläche; als Matrix B:
$$B = \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Möchte man nun wissen, wieviele Holzeinheiten und Schrauben in Summe benötigt werden, um einen Hocker und einen Stuhl herzustellen, kann man die beiden Matrizen gegebenenfalls multiplizieren.
Voraussetzung prüfen
Zuerst prüfen wir, ob sich die beiden Matrizen überhaupt multiplizieren lassen.
Es handelt sich bei Matrix A um eine quadratische 2x2-Matrix, bei Matrix B ebenso.
Die Spaltenanzahl von Matrix A ist mit 2 gleich der Zeilenanzahl von Matrix B mit 2.
Matrix A kann also mit Matrix B multipliziert werden.
Matrizen multiplizieren
$$A \cdot B = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 & 2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 \\ 1\cdot 3 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}11 & 13 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Es wird
- die 1. Zeile mit der 1. Spalte (genauer: das 1. Element der 1. Zeile wird mit dem 1. Element der 1. Spalte multipliziert, anschließend wird das 2. Element der 1. Zeile mit dem 2. Element der 1. Spalte multipliziert und beide Produkte werden aufaddiert),
- dann die 1. Zeile mit der 2. Spalte,
- dann die 2. Zeile mit der 1. Spalte und zuletzt
- die 2. Zeile mit der 2. Spalte multipliziert.
Es werden im Ergebnis für den Hocker 11 Holzeinheiten und 3 Schrauben und für den Stuhl 13 Holzeinheiten und 4 Schrauben benötigt.
Rechenregeln
Im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen, bei der $a \cdot b$ dasselbe Ergebnis hat wie $b \cdot a$, ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ, das heißt $A \cdot B$ führt zu einem anderen Ergebnis als $B \cdot A$.
$$B \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 5 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}10 & 15 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$