Definition
Bei einer normalen Gleichung ist die Unbekannte eine Variable x, bei einer Matrizengleichung ist die Unbekannte eine Matrix X.
Alternative Begriffe: Matrixgleichung.
Beispiel
Das folgende Beispiel lässt sich analog dem Vorgehen bei einer normalen Gleichung lösen (das ist aber nicht immer so einfach).
Die Matrizen A und B seien:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix}5 & 14 \\11 & 20 \end{pmatrix}$$
Es soll folgende Matrizengleichung gelöst werden:
$$A + 2 \cdot X = B$$
Gleichung umformen:
$$2 \cdot X = B - A$$
$$X = \frac{1}{2} \cdot (B - A)$$
Matrizen einsetzen:
$$X = \frac{1}{2} \cdot \left [\begin{pmatrix}5 & 14 \\ 11 & 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{pmatrix} \right]$$
$$X = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}4 & 12 \\ 8 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 6 \\4 & 8 \end{pmatrix}$$
Die Lösung ist also die Matrix X:
$$X = \begin{pmatrix}2 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$
Fazit
- Bei einer Matrizengleichung ist die Unbekannte keine Zahl, sondern eine Matrix X.
- Einfache Matrizengleichungen (Addition/Subtraktion) lassen sich wie normale Gleichungen durch elementweise Operationen lösen.
- Bei multiplikativen Formen (A · X = B) muss mit der Inversen gearbeitet werden, da Division durch eine Matrix nicht definiert ist.
Selbsttest: Matrizengleichung
Aufgabe: Matrizengleichung lösen
Gegeben sind die Matrizen A und B:
$$A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix}7 & 5 \\ 3 & 9\end{pmatrix}$$
Lösen Sie die Matrizengleichung 3X − A = B nach X.
Schritt 1: A auf die rechte Seite bringen:
3X = B + A
$$3X = \begin{pmatrix}7 & 5 \\ 3 & 9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 6 \\ 3 & 12\end{pmatrix}$$
Schritt 2: Durch den Skalar 3 dividieren (jedes Element durch 3):
$$X = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}9 & 6 \\ 3 & 12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$$
Probe: 3X − A = 3 · [[3,2],[1,4]] − [[2,1],[0,3]] = [[9,6],[3,12]] − [[2,1],[0,3]] = [[7,5],[3,9]] = B ✓