Determinante

Determinante Definition

Eine Determinante gibt es nur bei einer quadratischen Matrix (z.B. 2x2-Matrix oder 3x3-Matrix); es ist eine eindeutige Zahl, die man dieser Matrix zuordnen kann.

Die Determinante ist eine Hilfs- bzw. Prüfgröße: eine Matrix ist z.B. nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.

Beispiel: Determinante für eine 2x2-Matrix berechnen

Die quadratische Matrix sei

$$A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Die Determinante ist: det A = 1 × 4 - 2 × 3 = 4 - 6 = - 2.

Man multipliziert bei einer 2×2-Matrix also die beiden Zahlen der links oben beginnenden absteigenden Diagonale (1 und 4) und zieht das Produkt der Zahlen der links unten beginnenden aufsteigenden Diagonalen (2 und 3) ab. Das Ergebnis kann positiv, 0 oder wie hier negativ sein.

Für 3 × 3 - Matrizen kann die Determinante mit der Regel von Sarrus berechnet werden.

Rechenregeln

Für Determinanten gelten einige Rechenregeln, z.B.:

Die Determinante eines Matrixprodukts ist gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Matrizen:

$$det (A \cdot B) = det (A) \cdot det(B)$$

Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix:

$$det (A^T) = det (A)$$