Determinante
Definition
Eine Determinante gibt es nur bei einer quadratischen Matrix (zum Beispiel 2 × 2 - Matrix oder 3 × 3 - Matrix).
Es ist eine eindeutige Zahl, die man dieser Matrix zuordnen kann.
Die Determinante ist eine Hilfs- bzw. Prüfgröße: eine Matrix ist zum Beispiel nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Determinanten berechnen
Wie man Determinanten berechnet, hängt von der Größe der Matrix ab; je größer, desto aufwändiger:
Determinante 1x1
Wenn die Matrix nur ein Element hat (1 × 1 - Matrix), dann ist dieses Element auch die Determinante:
Beispiel
$$A = \begin{pmatrix}3 \end{pmatrix}$$
$$det (A) = \vert A \vert = 3$$
Determinante 2x2
Das ist auch noch relativ einfach:
Beispiel
Es soll die Determinante für folgende quadratische 2 × 2-Matrix berechnet werden:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$
Die Determinante ist: $det (A) = \vert A \vert = 1 × 4 - 2 × 3 = 4 - 6 = - 2$
Man multipliziert bei einer 2 × 2-Matrix also die beiden Zahlen der links oben beginnenden absteigenden Diagonale (1 und 4) und zieht das Produkt der Zahlen der links unten beginnenden aufsteigenden Diagonalen (2 und 3) ab.
Das Ergebnis kann positiv, 0 oder wie hier negativ sein.
Interpretation
Die Determinante ist ungleich 0; die Matrix ist deshalb invertierbar.
Alle Zeilen bzw. Spalten sind linear unabhängig, die Matrix hat den vollen Rang 2 (entsprechend der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten).
Formel
Allgemein als Formel:
$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$
$$det (A) = \vert A \vert = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}$$
Determinante 3x3
Für 3 × 3 - Matrizen kann die Determinante mit der Regel von Sarrus berechnet werden.
Determinante 4x4 und größer
Für Matrizen allgemein – aber vor allem für größere Matrizen (zum Beispiel 4 × 4) – kann die Determinante mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden.
Besondere Matrizen
Ganz einfach ist die Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen: hier werden einfach die Werte auf der Hauptdiagonalen multipliziert, das Ergebnis ist die Determinante.
Rechenregeln
Für Determinanten gelten einige Rechenregeln, zum Beispiel
Die Determinante eines Matrixprodukts ist gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Matrizen:
$$det (A \cdot B) = det (A) \cdot det(B)$$
Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix:
$$det (A^T) = det (A)$$