Monotonie von Folgen

Beispiel: monoton wachsende Folge

Die Zahlenfolge $a_n = 1 + \frac{n}{2}$ mit n aus den natürlichen Zahlen ist streng monoton wachsend:

$a_2$ ist mit $1 + \frac{2}{2} = 2$ größer als $a_1$ mit $1 + \frac{1}{2} = 1,5$; ebenso ist $a_3$ mit $1 + \frac{3}{2} = 2,5$ größer als $a_2$ und so weiter.

Mit steigendem Index der Folgenglieder (von $a_1$ auf $a_2$ auf $a_3$) steigen also auch die Werte.

Beispiel: monoton fallende Folge

Die Zahlenfolge $a_n = 1 - \frac{n}{2}$ mit n aus den natürlichen Zahlen ist streng monoton fallend:

$a_2$ ist mit $1 - \frac{2}{2} = 0$ kleiner als $a_1$ mit $1 - \frac{1}{2} = 0,5$; ebenso ist $a_3$ mit $1 - \frac{3}{2} = -0,5$ kleiner als $a_2$ und so weiter.

Mit steigendem Index der Folgenglieder fallen die Werte.

Beispiel: Monotonie prüfen

Möchte man überprüfen, ob eine Folge (streng) monoton steigend oder fallend ist, kann man die allgemeine Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder (für n + 1 und für n) berechnen und sich das Vorzeichen ansehen.

Für die Folge aus dem 1. Beispiel:

$$a_{n+1} - a_n$$

$$= 1 + \frac{n+1}{2} - (1 + \frac{n}{2})$$

$$= 1 + \frac{n+1}{2} - 1 - \frac{n}{2}$$

$$= \frac{n+1}{2} - \frac{n}{2}$$

$$= \frac{n+1 - n}{2} = \frac{1}{2}$$

Das Ergebnis ist 1/2 und damit > 0; die Folge ist streng monoton wachsend; da mit n gerechnet wurde (und nicht mit bestimmten Zahlen), gilt das Ergebnis allgemein für alle n und damit für die gesamte Folge.

Wäre das Ergebnis < 0, wäre die Folge streng monoton fallend (im 2. Beispiel ergibt sich ein Wert von -1/2 und damit < 0).