Definition
Eine Zahlenfolge ist monoton wachsend, wenn für alle n gilt: an+1 >= an und streng monoton wachsend, wenn > statt >= gilt.
Eine Zahlenfolge ist monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1 ≤ an und streng monoton fallend, wenn < statt ≤ gilt.
Beispiele
Beispiel: monoton wachsende Folge
Die Zahlenfolge $a_n = 1 + \frac{n}{2}$ mit n aus den natürlichen Zahlen ist streng monoton wachsend:
$a_2$ ist mit $1 + \frac{2}{2} = 2$ größer als $a_1$ mit $1 + \frac{1}{2} = 1,5$; ebenso ist $a_3$ mit $1 + \frac{3}{2} = 2,5$ größer als $a_2$ und so weiter.
Mit steigendem Index der Folgenglieder (von $a_1$ auf $a_2$ auf $a_3$) steigen also auch die Werte.
Beispiel: monoton fallende Folge
Die Zahlenfolge $a_n = 1 - \frac{n}{2}$ mit n aus den natürlichen Zahlen ist streng monoton fallend:
$a_2$ ist mit $1 - \frac{2}{2} = 0$ kleiner als $a_1$ mit $1 - \frac{1}{2} = 0,5$; ebenso ist $a_3$ mit $1 - \frac{3}{2} = -0,5$ kleiner als $a_2$ und so weiter.
Mit steigendem Index der Folgenglieder fallen die Werte.
Beispiel: Monotonie prüfen
Möchte man überprüfen, ob eine Folge (streng) monoton steigend oder fallend ist, kann man die allgemeine Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder (für n + 1 und für n) berechnen und sich das Vorzeichen ansehen.
Für die Folge aus dem 1. Beispiel:
$$a_{n+1} - a_n$$
$$= 1 + \frac{n+1}{2} - (1 + \frac{n}{2})$$
$$= 1 + \frac{n+1}{2} - 1 - \frac{n}{2}$$
$$= \frac{n+1}{2} - \frac{n}{2}$$
$$= \frac{n+1 - n}{2} = \frac{1}{2}$$
Das Ergebnis ist 1/2 und damit > 0; die Folge ist streng monoton wachsend; da mit n gerechnet wurde (und nicht mit bestimmten Zahlen), gilt das Ergebnis allgemein für alle n und damit für die gesamte Folge.
Wäre das Ergebnis 0, wäre die Folge streng monoton fallend (im 2. Beispiel ergibt sich ein Wert von -1/2 und damit 0).
Fazit
- Streng monoton wachsend: an+1 > an für alle n
- Streng monoton fallend: an+1 < an für alle n
- Monotonie prüfen: Differenz an+1 − an berechnen – positiv → wachsend, negativ → fallend
- Monotonie und Konvergenz sind unabhängige Eigenschaften einer Folge
Selbsttest: Monotonie von Folgen
Aufgabe: Monotonie von Folgen
Prüfen Sie durch Berechnung der Differenz an+1 − an, ob die Folge an = n2 + 1 streng monoton wachsend ist.
Differenz berechnen:
an+1 − an = [(n+1)2 + 1] − [n2 + 1]
= n2 + 2n + 1 + 1 − n2 − 1 = 2n + 1
Ergebnis: Da 2n + 1 > 0 für alle n ≥ 1 gilt, ist die Folge streng monoton wachsend.