Definition
Mathematische Reihen sind eng mit mathematischen Folgen verknüpft.
Beispiel
Beispiel Reihen
Die zugrundeliegende Folge an sei die der natürlichen Zahlen ohne 0, die Folgenglieder sind dann a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4 und so weiter.
Nun kann man daraus Summen sn (Partialsummen) bilden:
$$s_0 = \sum_{i = 0}^0 a_i = a_0 = 1$$
$$s_1 = \sum_{i = 0}^1 a_i = a_0 + a_1 = 1 + 2 = 3$$
$$s_2 = \sum_{i = 0}^2 a_i = a_0 + a_1 + a_2 = 1 + 2 + 3 = 6$$
und so weiter.
Diese Aufsummierungen nennt man dann Reihe.
Es gibt dann zur arithmetischen Folge die arithmetische Reihe und zur geometrischen Folge die geometrische Reihe.
Ökonomisch spricht man oft eher von "kumuliert" (zum Beispiel kumulierte Kapitalbeträge) als von "aufsummiert".
Endliche und unendliche Reihe
Die obige Reihe s2 ist eine endliche Reihe; n = 2 ist das Ende der Reihe. Hierfür kann ein Wert berechnet werden.
Die Reihe kann aber auch unendlich sein, das heißt, n kann bis unendlich gehen:
$$\sum_{i = 0}^\infty a_i$$
In dem Fall kann man untersuchen, ob die Reihe konvergent ist, also gegen einen Grenzwert läuft (zum Beispiel mit dem Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium).
Fazit
- Eine Reihe entsteht durch Aufsummierung der Glieder einer zugehörigen Folge
- sn = ∑i=0n ai ist die n-te Partialsumme
- Endliche Reihen haben einen konkreten Wert; unendliche Reihen können konvergieren oder divergieren
- Zur arithmetischen Folge gehört die arithmetische Reihe, zur geometrischen die geometrische Reihe
Selbsttest: Reihen
Aufgabe: Reihen
Gegeben ist die Folge an = 3n + 1 (n = 0, 1, 2, 3, …). Berechnen Sie die Partialsumme s3.
Folgenglieder berechnen:
a0 = 3·0 + 1 = 1 | a1 = 3·1 + 1 = 4 | a2 = 3·2 + 1 = 7 | a3 = 3·3 + 1 = 10
Partialsumme: s3 = 1 + 4 + 7 + 10
Ergebnis: s3 = 22