Definition
Die natürliche Exponentialfunktion (kurz: e-Funktion) ist die Exponentialfunktion zur Basis e (Eulersche Zahl e = 2,71828, hier auf 5 Nachkommastellen gerundet):
$$f (x) = e^x$$
Sie wird manchmal auch $exp (x)$ geschrieben.
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus.
Die natürliche Exponentialfunktion ergibt abgeleitet sich selbst, also $f'(x) = e^x$.
Der Graph der e-Funktion:
Der Graph der e-Funktion nähert sich links der x-Achse (die Funktionswerte gehen gegen 0 bzw. der Grenzwert der e-Funktion für x gegen minus unendlich ist 0), berührt diese aber nicht (die e-Funktion hat keine Nullstellen).
Man sieht an dem Graphen, dass mit der natürlichen Exponentialfunktion ein starkes Wachstum modelliert werden kann (mit steigendem x steigen die Werte stark / steil an).
e-Funktion auflösen
Die e-Funktion kann man mit dem natürlichen Logarithmus ln nach x auflösen.
Beispiel: e-Funktion auflösen
Für die obige Funktion $f (x) = e^x$ soll berechnet werden, für welches $x_0$ die Funktion einen Wert von 10 annimmt.
$$f(x_0) = e^{x_0} = 10$$
$$x_0 = ln(10) = 2,3$$
(Taschenrechner: 10 eingeben und LN-Taste drücken)
Den Wert von y = 10 für x = 2,3 kann man in der obigen Grafik ungefähr ablesen.
Fazit
- f(x) = ex ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828.
- Besondere Eigenschaft: f′(x) = ex – die Ableitung ist gleich der Funktion selbst.
- Umkehrfunktion: natürlicher Logarithmus f−1(x) = ln(x).
- ex hat keine Nullstellen: der Graph nähert sich für x → −∞ der x-Achse, berührt sie aber nie.
Selbsttest: Natürliche Exponentialfunktion
Aufgabe: e-Funktion auflösen
Für f(x) = ex: Bestimmen Sie das x0, für das f(x0) = 20 gilt.
Ansatz: ex0 = 20
Logarithmieren: ln(ex0) = ln(20)
Ergebnis: x0 = ln(20) ≈ 3,00
Probe: e3 ≈ 20,09 ≈ 20 ✓