Exponentialfunktion

Exponentialfunktion Definition

Eine Exponentialfunktion sieht so aus: f (x) = b × ax.

Dabei ist

  • b ein Faktor (dieser kann auch 1 sein, dann reduziert sich die Formel praktisch auf f (x) = ax);
  • a die Basis bzw. Grundzahl, diese ist konstant (keine Variable) und
  • x der Exponent.

Damit lassen sich exponentielles Wachstum und exponentieller Verfall beschreiben.

Beispiel

f (x) = 3 × 2x ist eine Exponentialfunktion mit b = 3 und a = 2. Für x = 1 wäre der Funktionswert f (x = 1) = 3 × 21 = 3 × 2 = 6; für x = 2 wäre der Funktionswert f (x = 2) = 3 × 22 = 3 × 4 = 12; für x = 3 wäre der Funktionswert f (x=3) = 3 × 23 = 3 × 8 = 24 u.s.w.

Alternative Begriffe: Exponentielle Funktion.

Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall

Exponentielles Wachstum

Ist in der obigen Formel a > 1, beschreibt die Funktion ein exponentielles Wachstum bzw. eine exponentielle Zunahme.

Das ist im obigen Beispiel der Fall: die Funktionswerte nehmen mit zunehmenden x = 1, 2, 3 ... stark zu: 6, 12 , 24 ...

Exponentieller Zerfall

Ist in der obigen Formel a < 1 (aber > 0), beschreibt die Funktion einen exponentiellen Zerfall bzw. eine exponentielle Abnahme.

Beispiel

f (x) = 3 × 0,5x ist eine Exponentialfunktion mit b = 3 und a = 0,5.

Für x = 1 wäre der Funktionswert f (x=1) = 3 × 0,51 = 3 × 0,5 = 1,5;

für x = 2 wäre der Funktionswert f (x=2) = 3 × 0,52 = 3 × 0,25 = 0,75;

für x = 3 wäre der Funktionswert f (x=3) = 3 × 0,53 = 3 × 0,125 = 0,375 u.s.w.

Die Funktionswerte nehmen mit zunehmenden x stark ab.

Dasselbe tritt ein, wenn a zwar > 1, aber der Exponent negativ ist: f (x) = 3 × 2-x stellt ebenfalls einen exponentiellen Zerfall dar.