Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen Definition

Nichtlineare Gleichungen sind Gleichungen mit einer, zwei oder mehr Variablen (Unbekannten), bei denen

  • mindestens eine Variable in einer anderen Potenz als 1 steht (zum Beispiel im Quadrat) oder
  • Variablenprodukte vorkommen (zum Beispiel x × y) oder
  • Exponential-, Logarithmus-, Wurzel- oder trigonometrische (Sinus, Kosinus usw.) Operationen mit den Variablen durchgeführt werden oder
  • Variablen im Nenner eines Bruchs vorkommen.

Hinweis: in der obigen Liste sind manche Punkte – nicht ganz offensichtlich – doppelt enthalten; so entspricht die Wurzel einer Variablen x ($\sqrt x$) beispielsweise der Potenz $x^\frac{1}{2}$, also einer anderen Potenz als 1.

Und ein Bruch $\frac{1}{x}$ mit einer Variablen x im Nenner entspricht dem Potenzterm $x^{-1}$, also ebenso einer anderen Potenz als 1.

Beispiele für nichtlineare Gleichungen

$$x^2 = 4$$

$$x \cdot y = 4$$

$$x^2 + y = 5$$

$$sin (x) + 2y = 8$$

$$\frac{1}{x} + 2y = 0$$

Grafisch: keine Geraden

Nichtlineare Gleichungen ergeben grafisch abgebildet keine Geraden (die überall dieselbe Steigung haben), sondern sind „kurvig“, beispielsweise Parabeln, die an unterschiedlichen Stellen / Punkten unterschiedliche Steigungen haben.

Gegenstück: lineare Gleichungen

Im Gegensatz dazu wäre eine lineare Gleichung beispielsweise 3x + 2y = 12 (die beiden Variablen x und y treten nur in der 1. Potenz auf und aus ihnen wird auch kein Produkt erstellt; das ergäbe hier eine Lösungsmenge, zum Beispiel x = 0 und y = 6 mit $3 \cdot 0 + 2 \cdot 6 = 12$ oder x = 2 und y = 3 mit $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$).

Ob eine nichtlineare Gleichung oder eine lineare Gleichung vorliegt, kann man auch anhand der Kriterien für lineare Gleichungen prüfen; diese dürfen nur umfassen:

  • Produkte aus Variablen und Zahlen (nicht: Produkte aus Variablen und Variablen), also beispielsweise wie oben 3x oder 2y;
  • Summen aus den Produkten und Zahlen, also beispielsweise wie oben 3x + 2y (mit Summen werden auch Differenzen eingeschlossen, da eine Differenz der Addition eines negativen Terms entspricht, zum Beispiel: 3x - 2y entspricht 3x + (-2y)).