Bruchgleichungen

Bruchgleichungen Definition

Bruchgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner eines Bruches oder mehrerer Brüche auftritt (die Variable kann zusätzlich auch im Zähler vorkommen).

Beispiel

Eine einfache Bruchgleichung lautet:

$$\frac{1}{x} + \frac{5}{x} = 3$$

Die Definitionsmenge der Bruchgleichung ist die Menge der reellen Zahlen ohne 0 (da durch 0 nicht geteilt werden darf).

Die Bruchgleichung wird umgeformt:

$$\frac{1 + 5}{x} = 3$$

$$\frac{6}{x} = 3$$

$$6 = 3x$$

$$x = \frac{6}{3} = 2$$

Kontrolle:

$$\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Beispiel

Ein etwas komplexeres Beispiel:

Beispiel: Bruchgleichung lösen

Die Bruchgleichung lautet:

$$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{6}{x}$$

Zunächst werden beide Seiten der Gleichung mit (x - 1) × x (also mit dem Produkt aus den Nennern beider Seiten) multipliziert:

$$(x + 1) \cdot x = 6 \cdot (x - 1)$$

$$= x^2 + x = 6x - 6$$

Auf eine Seite gebracht und gleich Null gesetzt:

$$= x^2 - 5x + 6 = 0$$

Diese quadratische Gleichung kann dann z.B. mit der p-q-Formel gelöst werden:

$$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right)^2 - q}$$

p ist hier -5 (der Faktor vor dem x) und q ist 6 (der Wert ohne x in der Gleichung). Das gibt dann 2 Lösungen x1 und x2:

$$x_{1,2} = - \frac{-5}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {-5}{2}\right)^2 - 6} = - \frac{-5}{2} \pm \sqrt {0,25} = 2,5 \pm 0,5$$

$$x_1 = 2,5 + 0,5 = 3$$

$$x_2 = 2,5 - 0,5 = 2$$

Kontrolle:

$$\frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 (= \frac{6}{3})$$

$$\frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 (= \frac{6}{2})$$

Die Definitionsmenge der Bruchgleichung ist die Menge der reellen Zahlen ohne die 1 und die 0 (bei x = 1 wäre der erste Nenner 0, bei x = 0 der zweite Nenner und durch 0 darf nicht geteilt werden ).