Bruchgleichungen

Beispiel 1: einfache Bruchgleichung

Eine einfache Bruchgleichung lautet:

$$\frac{1}{x} + \frac{5}{x} = 3$$

Die Definitionsmenge der Bruchgleichung ist hier die Menge der reellen Zahlen ohne 0 (da durch 0 nicht geteilt werden darf): $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Die Bruchgleichung wird umgeformt:

$$\frac{1 + 5}{x} = 3$$

$$\frac{6}{x} = 3$$

$$6 = 3x$$

$$x = \frac{6}{3} = 2$$

Die einzige Lösung ist die Zahl 2 bzw. die Lösungsmenge L = {2}.

Kontrolle:

$$\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Beispiel 2: komplexere Bruchgleichung

Ein etwas komplexeres Beispiel:

Die Bruchgleichung lautet:

$$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{6}{x}$$

Zunächst werden beide Seiten der Gleichung mit (x - 1) × x (also mit dem Produkt aus den Nennern beider Seiten) multipliziert:

$$(x + 1) \cdot x = 6 \cdot (x - 1)$$

$$= x^2 + x = 6x - 6$$

Auf eine Seite gebracht und gleich Null gesetzt:

$$= x^2 - 5x + 6 = 0$$

Diese quadratische Gleichung kann dann zum Beispiel mit der p-q-Formel gelöst werden:

$$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right)^2 - q}$$

p ist hier -5 (der Faktor vor dem x) und q ist 6 (der Wert ohne x in der Gleichung). Das gibt dann 2 Lösungen x₁ und x₂:

$$x_{1,2} = - \frac{-5}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {-5}{2}\right)^2 - 6} = - \frac{-5}{2} \pm \sqrt {0,25} = 2,5 \pm 0,5$$

$$x_1 = 2,5 + 0,5 = 3$$

$$x_2 = 2,5 - 0,5 = 2$$

Kontrolle:

$$\frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 (= \frac{6}{3})$$

$$\frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 (= \frac{6}{2})$$

Die Definitionsmenge der Bruchgleichung ist die Menge der reellen Zahlen ohne die 1 und die 0 (bei x = 1 wäre der erste Nenner 0, bei x = 0 der zweite Nenner und durch 0 darf nicht geteilt werden ) $D = \mathbb{R} \setminus \{0; 1\}$.