Nilpotente Matrix

Nilpotente Matrix Definition

Eine quadratische Matrix A ist nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n größer oder gleich 1 gibt (also 2, 3, 4, 5 ...), für die gilt: An = 0 (das heißt A potenziert mit n ergibt die Nullmatrix).

Es kann auch mehrere derartige Potenzen geben, zum Beispiel kann das Quadrat A2 und die kubische Potenz A3 die Nullmatrix ergeben; die kleinste derartige Potenz ist dann der Nilpotenzgrad.

Beispiel

Beispiel: Nilpotente Matrix

Die Matrix A

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

ist nilpotent, denn die Matrix quadriert bzw. in Potenz 2 gesetzt ergibt die Nullmatrix:

$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Mit Matrizenmultiplikation:

$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Die zweite Potenz von A ergibt die Nullmatrix, der Nilpotenzgrad ist 2.