Definition
Hat man eine Funktion mit mehreren Variablen wie zum Beispiel f(x, y) = x2 + y3, kann man die Frage stellen, welche Werte von x und y aus dem Definitionsbereich der Funktion zum Beispiel zu einem Funktionswert von 0 (oder einem anderen festen Funktionswert wie 3 oder 50) führen.
Beispiel
Beispiel: Niveaulinien
Die Funktion sei:
$$f(x, y) = x^2 + y^3$$
Unter anderem führen folgende x- und y-Werte zu einem Funktionswert von 0:
f(0,0) = 02 + 03 = 0 + 0 = 0.
f(1,-1) = 12 + (-1)3 = 1 + (-1) = 0.
f(8,-4) = 82 + (-4)3 = 64 + (-64) = 0.
Das sind einige Punkte; die Niveaulinie bestimmt alle aus x und y bestehenden Punkte des Definitionsbereichs, die den konstanten Wert ergeben.
Niveaulinie bestimmen
Dazu löst man die Gleichung f(x, y) = x2 + y3 = 0 nach y auf:
$$y^3 = -x^2$$
$$y = \sqrt[3]{-x^2}$$
Damit kann man dann beliebige andere (x, y) - Kombinationen finden, die den Wert ergeben, zum Beispiel wenn man x mit 3 vorgibt und y dann berechnet als:
$$y = \sqrt[3]{-3^2} = \sqrt[3]{-9} = -2,08$$
(Da die 3. Wurzel einen ungeraden Grad hat (wie auch die 5. oder 7. Wurzel), kann man hier – mathematisch umstritten – auch von negativen Zahlen die Wurzel ziehen und das Ergebnis ist ebenfalls negativ).
Kontrolle:
f(3, -2,08) = 32 + (-2,08)3 = 9 + (-9) = 0 (Kleine Rundungsdifferenzen).
So finden wir natürlich auch die obige 3. Kombination; wir setzen x auf 8 und dann ist y:
$$y = \sqrt[3]{-8^2} = \sqrt[3]{-64} = -4$$
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, x zu setzen (oben haben wir jeweils nur natürliche Zahlen genutzt) und daraus ergeben sich unendlich viele y-Werte. All die vielen Kombinationen kann man mit einem Funktionsplotter in einer Grafik abbilden.
Interpretation
Wenn die obige Funktion eine Produktionsfunktion wäre und x für Maschinenstunden stehen würde und y für Arbeitsstunden eines Arbeiters, könnte man so darstellen, mit welchen Kombinationen aus Maschinen- und Arbeitsstunden sich ein Output von beispielsweise 100 (hergestellte Stück) erzielen ließe:
$$x^2 + y^3 = 100$$
Fazit
- Eine Niveaulinie zeigt alle (x, y)-Punkte, die einen konstanten Funktionswert c ergeben: f(x, y) = c
- Sie wird bestimmt, indem man f(x, y) = c nach einer Variablen auflöst
- Für f(x, y) = x2 + y3 und c = 0 gilt: y = √3(−x2)
- In der BWL entsprechen Niveaulinien von Produktionsfunktionen den Isoquanten (gleiche Produktionsmenge, verschiedene Faktorkombinationen)
Selbsttest: Niveaulinien
Aufgabe: Niveaulinien
Bestimmen Sie die Niveaulinie der Funktion f(x, y) = x3 + y2 für den Wert c = 8. Prüfen Sie außerdem, ob der Punkt (2, 0) auf dieser Niveaulinie liegt.
Niveaulinie bestimmen: x3 + y2 = 8
y2 = 8 − x3
y = ±√(8 − x3) (definiert für x ≤ 2, da sonst 8 − x3 < 0)
Probe (2, 0): f(2,0) = 23 + 02 = 8 + 0 = 8 = c ✓
Weitere Punkte auf der Niveaulinie:
f(0, 2√2): 0 + (2√2)2 = 8 ✓
f(1, √7): 1 + 7 = 8 ✓